|
:: 게시판
:: 이전 게시판
|
- 모두가 건전하게 즐길 수 있는 유머글을 올려주세요.
- 유게에서는 정치/종교 관련 등 논란성 글 및 개인 비방은 금지되어 있습니다.
통합규정 1.3 이용안내 인용"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
06/12/06 19:40
문제를 많이 꼬았어요. 일부러 헷갈리게 하려고 하는지...
선택상황을 2개 주고, 그 2개사이에 한가지의 변인(한쪽에만 해당되는)을 집어 넣으므로서 많은 사람들을 흔드네요.
06/12/06 19:48
꼭 게시물로 올려야 하나요?
관련 게시물에 리플로 달면 안되나요? 자유게시판에서도 같은주제로 올리는걸 금하고, 대신 댓글화 하는걸로 알고 있는데 유머 게시판은 조금 자유롭다고 너무 자유롭게 쓰시는것 같아요. 저도 물론, 남에게 공감가지 않는 개그를 올리긴 하지만, 나름대로 유머라고 해서 올리긴 합니다. 누군가를 웃겨주기 위해서. 하지만 이건 아니라고 생각합니다. 기분은 나빠하시지 마세요.
06/12/06 20:00
짤짤이 소년님//저는 글로 남겨야 하는게 맞다고봐요
-_-;; 보통 보면 1/2이라고 하시는분들 똑같은 분들이 그러십니다. 위에 댓글만 읽어봐도 바뀔수 있는데, 자기자신의 논리가 확고하다고 생각들 하셔서 그런지 댓글은 안읽어보시는느낌이 많이 들었죠. 꼭 몬티홀은 1/2이 맞다는 식으로 이야기를 합니다. 몬티홀 문제는 바꾸는게 더 이득이라는게 이미 결정이 나있는데도 말이죠;; 그런분들이 직접 글 읽게 만들려면 이렇게 반론하는것을 눈에 잘띄게 게시하는 방법밖에 없겠죠. 혹은 쪽지나요...;;하지만 -_- 누가 수고해서 일일히 다 보냅니까. 글하나면 충분하죠.
06/12/06 20:05
뭐 저도 어제부터 퀴즈같은 게시물 많이 올라와서 약간 언잖기는 했지만
그걸로 끝입니다. 그냥 안읽으면 되니까요 ^^ 문제가 된다면 운영진분들께서 해결해주시겠죠.
06/12/06 20:06
사회자가 개입하지 않은 상태에서는 각 문의 1/3, 1/3, 1/3 입니다만
사회자가 개입한 이후의 상태는 확률은 1/2, 1/2, 0 입니다. 사회자의 개입으로 인해 이미 각 문에 대한 확률이 변화해 버렸는데 계속 1/3 확률을 사용하는건 논리적으로 맞지 않습니다.
06/12/06 20:18
六道熱火님//
1/2이 되는 경우는 우라질놈님의 본문 내용처럼, 사회자가 미리 꽝하나를 알려주고 난 경우가 되는 것이구요. 이미 내가 1/3인 상태에서 하나 선택한 상황에서, 꽝 하나를 알아버렸다고 해도, 이미 내가 꽝을 알기전 1/3의 확률로 선택한 것이기 때문에, 사회자가 꽝을 알려주더라도 내가 1/3일때 선택했던 확률이 갑자기 1/2로 증가하는 것은 아닙니다. 이부분이 이해가 안가시면 정말 곰곰히 차근차근 다시 생각해보시길 바랍니다.
06/12/06 20:26
제가 계속 이문제를 생각하다 궁금한 점이 생겼습니다. 사회자가 당첨문을 미리 알고 꽝문을 하나 열어 주는, 즉 원래 문제의 조건대로라면 2/3 가 맞다는 내용의 논리가 맞다고 생각합니다.
여기서부터 궁금한점. 사회자가 뭐가 당첨문인지 꽝문인지 모르는 상태에서 하나를 열어 확인시켜준다고 가정했을때, 열어본 문에서 차가 없으면 바꿀기회를 주고, 차가 있으면 할수없이 게임오버 라는 룰로 사회자가 열어본다면 이때는 바꾼다, 바꾸지 않는다 가 똑같이 1/2 가 될까요?
06/12/06 20:38
꽝을 알기전 1/3 확률로 선택했습니다만, 사회자가 꽝을 알려주면 그 확률이 1/2로 증가합니다. 선택자가 아무런 행위를 하지 않아도 말이죠.
사회자의 행위 자체로 확률 자체가 변한다는 사실을 간과하면 안됩니다.
06/12/06 20:42
몽키매직님// 감사합니다 (__)
아주 유게에 무지하게 올라온 퀴즈글들때문에(덕분에?) 하루종일 온갖 조건을 만들어가면서 이것 저것 계산해보느라 혼자 정신이 없네요
06/12/06 20:53
六道熱火님//
밑의 댓글에도 많은 말들이 오고 갔지만, 사회자가 꽝을 알려줌으로서 확률이 1/2로 올라가는 것이 아닙니다. 1, 내가 선택한 것 중에 자동차가 있을 확률 -> 1/3 2. 내가 선택하지 않은 것 중에 자동차가 있을 확률 -> 2/3 위의 경우 사회자에 의해서 2번 경우가 하나로 통합되는 것입니다. 결국 사회자의 행동으로 남은 2가지가 모두 동반상승하는 것이 아니라 내가 선택하지 않은 하나만 상승하는 것이죠. 몽키매직님// 1/2, 1/2가 되지 않는다고 생각합니다. 사회자가 알던 모르던 꽝을 뽑았다면 본래와 같은 결과를 보여주게되며, 꽝이 아닌 것을 뽑았다면 꽝입니다!
06/12/06 20:55
어제부터 이해못하고 속만 끊이고 있네요. 그래서 내가 문과를 간거야~
왜 이제는 문이 두개 남았는데 아직도 1/3인지...원래 수학이 그렇게 하는 건지....
06/12/06 20:56
그러니까 왜 사회자의 행동으로 선택하지 않은 것만 확률이 상승하냐고요. 결국 문은 2개 남았는데....돌 던지진 마세요.^^
06/12/06 21:00
니델님의 질문과 몽키매직님의 답변이 이 문제의 핵심....
즉 사회자는 플레이어 보다 정보가 더 많고 이러한 정보의 우월성이 사회자의 "꽝" 제거를 통해 플레이어에게 전달되고 플레이어의 정보가 늘어납니다. 따라서 플레이어가 부족한 정보하에서 (꽝" 제거 전) 한 선택을 유지하는 것은 더 이상 최선의 선택이 아니게 됩니다. 핵심은 사회자의 정보적인 우월성이고 사회자가 플레이어 보다 정보적인 우월성이 없다면 사회자의 행위는 플레이어에게 아무런 추가 정보도 제공하지 못합니다.
06/12/06 21:05
Withinae님//
문이 두개가 남았지만, 1/2. 1/2의 두개가 아니라 1/3, 2/3의 두개인 것입니다. 양자택일이란 것과 확률이 반반이라는 것을 오해하시는 거예요.
06/12/06 21:06
만약 문이 N개일 경우 확률이 한곳에 몰리게 되면 문제가 발생합니다.
문이 N개 있고 그중에 자동차가 하나 있는데 사용자가 한 문을 선택했습니다. 이후 사회자가 N-2개의 자동차가 없는 문을 제거하고 다시 선택의 기회를 준다면 선택하지 않은 하나만 상승할 경우 N이 커지면 커질수록 확률은 점점 1에 수렴하게 되죠. 논리적으로 어긋납니다.
06/12/06 21:10
whthinae님 // 참가자는 3개중의 하나를 골랐을뿐이고 그다음에 2개중에 고르는게 아닙니다, 그냥 무조건 바꾸는겁니다.
그냥 처음에 3개중에 하나골랐을때 끝나는거죠. 무조건 바꾼다면 어떻게 되느냐! 내가 처음에 꽝인문을 선택했다면 나는 당첨문을 선택하게 될거고, 내가 처음에 당첨문을 선택했다면 무조건 꽝을 찍게 되겠죠. 그런데 여기서 3개중에 꽝이 2개니까 내가 꽝인문을 선택할 확률은 2/3이고 즉 무조건 바꾼다는 가정하에 난 2/3 확률로 당첨문을 직게되는셈이죠.
06/12/06 21:13
六道熱火님// 확률이 점점 1에 수렴하게 되는게 논리적으로 맞는게 아닐까요? 사회자가 차가 있는 문을 안다는 게 많은 영향을 미친다고 생각합니다. 문이 백만개라고 하면 내가 어느 문앞에 섰을때 그 뒤에 차가 있을 확률은 거의 0이겠지요. 나머지 99만9999개의 문중에 차가 있지 않은 문 99만 9998개를 사회자가 열어준다면 처음에 선택하지 않고, 사회자가 열어주지도 않은 한개의 문뒤에 차가 있을 확률이 원래 선택했던 문 뒤에 있을 확률의 99만9999배 일듯 하네요
06/12/06 21:14
六道熱火님// 문이 N개, N-2개 제거시에는 님이 말씀하신 대로 N이 커질수롤 확률이 1에 수렴하고 따라서 바꾸는 행위가 점점 더 유리하게 됩니다. 어디가 논리적으로 어긋나다고 생각하시는지 궁금하네요.
06/12/06 21:16
이 문제에 대해서는 이미 관련된 책들이 많습니다. 가장 친숙한 책은 역시 정호승씨의 '과학콘서트'구요.(이과생들에게는 제 5의 과학 선택과목이죠.) 그 외에도 조금 깊은 상식을 얻고 싶으면 몬티홀 사건에 관련된 책이 있습니다. 그걸 읽어 보세요.(전 반도 이해가 안되더군요. 책 제목도 기억이 안나네.)
06/12/06 21:20
사이몬 PHD님 // 그런데 사회자가 알건 모르건 열어준게 꽝이었다면(무슨 누구님 말씀대로 사회자가 다 알고 참가자가 당첨일때만 열어서 보여주는게 아니라 사회자도 순수 모르는 상태에서 열어줬는데 꽝이었다면) 원래 대로 적용되는거 아닌가요? 왜냐면 사회자의 정보는 우월하지 않다고 해도, 문을 열어서 꽝인걸 하나 제거해주는 자체로 참가자에게 추가정보를 제공하는셈인데요.
06/12/06 21:26
사이몬PHD님// 문제는 조건이 다르다는 거죠.
물론 선택자가 '단 한번만' 선택할 경우에는 확률이 차이납니다. 그런데 사용자가 '다시 선택할 기회를 가지는데도' 똑같은 논리를 적용하는 것이 잘못되었다는 겁니다. 이미 다시 선택할 기회를 가지는 상황부터 1/N이라는 확률은 의미가 없어지게 됩니다. 사회자가 선택한 문들은 몽땅 다 확률이 0으로 바뀌었거든요. 그러면 전체 합이 1이 되어야 되어서 다른 문들의 확률이 증가해야 되는데... 이게 남은 두 개의 문에 공평하게 분배가 되지 않고 한쪽으로 일방적으로 몰린다는 이야기가 나옵니다. 이것이 문제라는 거죠. 사용자가 선택할 기회를 가지지 않는다는 것과 다시 선택할 기회를 가진다는 건 분명 중요하고도 다른 문제입니다.
06/12/06 21:40
keke님// 니델님의 질문처럼 만약 사회자도 어디에 차가 모르는 상황에서 랜덤하게 하나의 문을 열고 차가 있는 문을 열었을 때는 게임이 거기서 끝나고 양이 있는 문을 열면 다시 선택할 기회가 주어진다고 가정하고...
사회자가 양이 있는 문을 열었을 경우에 한해서 이 문제를 다시 푼다고 하더라도 결론은 같습니다. 바꾸는 게 유리하죠. 다만 이 경우는 플레이어의 정보의 증가가 사회자에게서 오는 것이 아니라 동일한 정보력을 가진 사회자지만 그의 선택의 결과 게임이 끝나지 않았다는 사실을 추가적으로 관측함으로써 생깁니다.
06/12/06 21:40
이거 답 나온지가 언젠데.. 정답을 이해 못하시는 분때문에 여러분들이 고생하시는군요.. 솔직히 이런문제는 본인이 이해를 못하면 어쩔수가 없긴하죠.. 수학교수가 설명해줘도 이해 못하실듯..
06/12/06 21:45
사이몬PHD님// 오.. 사회자가 양있는문을 제거했을때 그것이 알고 했든 모르고 했든 바꾸어야 한다는 결론은 마찬가지인가요? 이건 어째 생각하면 할수록 더 아리송하군요 ㅠㅠ
06/12/06 21:48
六道熱火님은.. 좀 다른 사람들의 말을 들어보시길 바랍니다.
물론 선택자가 '단 한번만' 선택할 경우에는 확률이 차이납니다.<- 이거 님이 하신 말씀인데.... 이 문제가 바로 단 한번만 선택하는것이나 다름없습니다. 사회자가 꽝을 하나 제거해준다음엔 그냥 무조건 바꿀거거든요. 맨처음에 단한번만 선택하고 그다음엔 무조건 바꾼다. 의 1가지와 맨처음에 단한번만 선택하고 그다음엔 무조건 안바꾼다. 이렇게 2가지의 경우의 확률을 한번 생각해보시죠. 핵심은 바꾼다 안바꾼다에 있는게 아니고 각각을 선택했을때 내가 무조건 문을 바꾼다면 당첨문을 열 확률이 다르다는데 있거든요. 바로 맨처음선택에 따라서요.
06/12/06 21:51
'일단 각 문의 확률 1/N은 시불변이다' 라는 것을 증명해야 될텐데요.
각 문에 해당하는 함수는 불행히도 시불변이 아닌 시변입니다.
06/12/06 21:54
六道熱火님//
"그러면 전체 합이 1이 되어야 되어서 다른 문들의 확률이 증가해야 되는데... 이게 남은 두 개의 문에 공평하게 분배가 되지 않고 한쪽으로 일방적으로 몰린다는 이야기가 나옵니다. 이것이 문제라는 거죠." -->이 부분이 문제가 된다는 것이 솔직히 이해가 잘 되지 않네요. 그렇기 때문에 바꾸는 것이 더 좋다가 답입니다. 확률이 남은 두 문에 공평 또는 동일하다면 당연히 바꾸거나 안바꾸거나 상관없겠지요. 확률은 남은 두 문에 공평해야 한다-->그런데 계산해 보니 한 쪽에 너무 쏠린다. N이 커질수록 더욱 더 -->모순이다 가 아니라 계산해 보니 한 쪽에 너무 쏠린다. N이 커질수록 더욱 더 -->그러므로 N이 커질수록 기존의 선택을 바꾸는 것이 더욱 더 유리해진다 가 자연스러운 논리 추론 아닌가요?
06/12/06 21:54
그냥 맨처음에 선택할때 꽝을 선택했으면 무조건 바꾸면 당첨입니다.
이때 내가 꽝을 선택할 확률이 2/3 이고 무조건 바꾸면 난 2/3 확률로 차를 얻게 되는겁니다. 이게 이해가 안되시는건지 아니면 이해하기가 싫으신건지 모르겠네요 -_-;
06/12/06 21:58
니델님//사회자도 모르는 상화에서 하나의 문을 제거하고 우연히 양이 있는 경우를 제거하였을 경우에는 원래 문제와 동일함니다. (차가 있는 문을 열면 게임이 거기서 끝난다는 가정하에)
06/12/06 21:58
우라질놈의 말씀처럼, 사회자가 하나의 꽝문을 알려준다면 1/2가 되는게 맞지요. 문제에서, 사회자는 거기까지 진행했지요.
그 시점에선 분명 1/2이지요. 그리고 문제에서 확률을 물어본 시점도 그때지요..
06/12/06 22:26
처음 내가 선택한 문이 당첨될 확률은 1/3 입니다.. 그 이후에 사회자가 무슨 짓을 해도 내가 선택한 문이 당첨될 확률엔 변함이 없습니다. 내가 이미 선택하는 순간 확률은 결정되는 겁니다. 이후에 사회자가 꽝인 문을 열건, 남은 2문을 다 열건, 아니면 3문을 다 열건 , 새로운 문을 좌우로 수백개를 나열해놓건 처음에 내가 선택한 문이 당첨될 확률은 1/3에서 변하지 않습니다. 문제를 바꿔놓고 생각해봅시다. 문 10개 중에 9개가 당첨이라고 하면 첨에 선택해서 당첨될 확률은 9/10로 매우 높습니다. 내가 문 한개 선택한 후에 새로운 문을 10억개를 늘여 놓는다고 해서 내가 선택한 문이 당첨될 확률이 '9/10억'가 되는게 아닙니다. 내가 선택한 문이 당첨될 확률은 여전히 90%입니다.
06/12/06 22:33
amulet02님//사회자는 거기까지 진행하지 않았습니다. 사회자의 진정한 역할은 '혹시 문을 바꾸시겠습니까?'라고 물어보는 것 까집니다. 그것이 TV에서 사회자가 했던 역할입니다.
죄송합니다. 똑같은 내용을 두번 반박하네요. 혹시 한 쪽은 안 보실까봐 그랬습니다.
06/12/06 22:33
n개중 내가선택한 문이 정답일 확률이 1/n 나머지에 있을 확률은 (n-1)/n 그런데 나머지 문중에 정답이 아닌 n-2개를 사회자가 열어재처 버리면 마지막 하나 남은 나머지문이 정답인 확률은 (n-1)/n 이 되버리는 거죠. 이걸 왜 이해못할가요.-_-
06/12/06 22:39
http://www.mathlove.org/pds/materials/stories/paradox.htm
몬티홀 문제의 해답이 나와있는 페이지입니다. 페이지 가장 마지막쪽에 소개가 되어있네요. 제발 읽고 이해좀 하세요..
06/12/06 22:44
cuinHell님의 설명이 이해하기 쉽겠네요. 반대상황의 예입니다. 결국 변수가 되는 것은 '자동차의 수'가 변한게 아니라 '문의 수'가 변했다는 겁니다. 그것도 선택한 이후에.
06/12/06 22:48
물론 처음 선택된 문이 당첨될 확률은 1/3입니다.
이후 사회자가 무슨 짓을 하던, 선택한 문을 바꾸지 않고 확인하면 1/3이죠. 근데 문제는 다시 선택한다는 거죠. 이 상황에서 사회자는 하나의 꽝인 문을 선택했고 문의 개수는 2개로 줄어듭니다. 이때 각 문의 확률은 1/2,1/2, 0(사회자가 골라낸 문) 이 되게 되죠. 처음에 선택한 문의 정답 확률이 항상 1/3이라고 생각하는 것이 문제입니다.
06/12/06 23:03
'물론 처음 선택된 문이 당첨될 확률은 1/3입니다.
이후 사회자가 무슨 짓을 하던, 선택한 문을 바꾸지 않고 확인하면 1/3이죠.' 이 부분은 본인도 인정하시는군요.. 사회자가 무슨 짓을 하건 선택한 문을 안바꾸면 1/3 입니다.. 사회자가 문을 늘려놓건, 문제처럼 꽝인문을 열어서 문이 2개가 되던, 내가 안바꾸고 확인하면 1/3로 당첨이란 겁니다.. 안바꾸면 1/3 이므로 바꾸면 2/3가 되는겁니다.
06/12/06 23:07
근데 처음 선택할 때하고 다시 선택할 때하고 상황이 다르니까 문제입니다.
처음 선택할 때에는 문이 3개입니다. 하지만 나중 선택할 때에는 문이 2개입니다. 당연 각 문에 해당되는 확률은 바뀌게 되죠. 선택하는 그 순간 몇개의 문 중 하나를 선택할 수 있는가에 의해서 확률이 결정되고, 첫 번째 선택과 두 번째 선택에서 문의 개수는 분명 다릅니다.
06/12/06 23:12
六道熱火 님은 사회자가 문을 여는 행동이 아무런 정보를 주지 않는다고 생각하기 때문에 1/2 이란 생각을 하시는것 같네요. 마찬가지로 주식 지수 그래프는 아무경제정보가 없는 사람이 보면 오를 확률과 내릴확률은 1/2이지만 경제정보를 알고 분석할수 있는 사람이 보면 오를지 내릴지를 더 높은 확률로 예측할수 있죠.
06/12/06 23:16
六道熱火님 // 계속 고집부리는 사람 이길 수 없다고 하지만;; 수학까지 이러면 당황스럽습니다 쩝
그러면 사회자가 문을 안열었다고 칩시다 그런 다음에 문을 한개를 골랐습니다 그 다음 문 한개를 택하겠습니까 아니면 한개가 아닌 다른 두개 문을 택하겠습니까라는 질문을 했다면 그때는 문을 바꾸는게 2/3의 확률이라고 인정 하시겠습니까? 이 상황에서 단지 답을 알고 있는 사회자가 꽝인 문을 미리 알려준 상황입니다 사회자는 문을 알려주건 말건 상관이 없습니다 답이 어디있는지만 안알려 주면 상황은 같습니다. 문을 바꿀것인가 안바꿀것인가를 택하는 문제이지 저 문에 있을까 없을까를 따지는 문제가 아닙니다. 그러므로 꽝인문을 열어주는거랑 안열어주는거랑 확률 변화가 없다는 것입니다
06/12/06 23:19
http://www.mathlove.org/pds/materials/stories/paradox.htm
에 나온 것은 잘못된 문제 같습니다. 예를 들어 보면, 친구랑 내기(도박 -_-)를 합니다. 100만원을 내고 3개의 문 가운에 300만원이 놓여있는 하나의 문을 고르는 내기입니다. 물론 나머지 2개의 문은 돈이 전혀 없습니다. 물론 문에 있는 돈을 갖는 것으로 하는 것이죠. 이 때 100만원 내고 1/3의 확률로 300만원을 받을 수 있으니 기대값이 100만원인 합리적인 내기(도박 -_-)겠죠? 자! 문을 하나 골랐습니다. 1번으로! 그랬더니 친구가 오묘한 표정을 짓더니만 2번을 열어보이며 '호오.. 진짜 1번 고를거야? 이거봐 2번엔 돈이 없어. 잘 생각해봐! 다시 고를 수 있게 해줄게.' 이 때 여러분은 1번, 3번 중 어느 것을 고르시겠습니까? 저라면 당연히 1번입니다. 왜냐면 친구가 300만원이나 선심쓰려고 2번을 보여줄리가 없거든요. 친구가 2번을 열어보이면서 바꿀 수 있는 기회를 준 것처럼 보이는 순간 이미 1번이 당첨임을 직감할 수 있을 것입니다. 당연히 1번이 꽝인 문이라면 친구가 다시 고를 수 있게 제안하지도 않았겠죠. 위 링크에 나온 상황에서도 몬티가 새로운 제안을 해온 것이 의심스러울 수 밖에 없습니다. 마릴린이 A번 문을 고르자 그 때서야 몬티가 새로운 제안을 했었죠. 처음부터 마릴린이 문을 하나 고르면 몬티가 고르지 않은 문 중에 꽝인 문을 하나 열어보이고 다시 선택할 수 있다고 되어있는 게임이 아니었습니다. 몬티는 처음부터 개인적으로 그런 생각을 갖고 있었을지 모르지만, 마릴린 입장이라면 위에서처럼 몬티의 의도가 의심스러울 수 밖에 없습니다. 따라서 이런 상황에서 문을 바꾸는 것이 더 확률이 높다고 볼 수는 없을 것입니다. 즉, 완전한 문제가 되기 위해서는 사회자는 항상 참가자가 선택하지 않은 문 중에서 꽝인 문을 하나 보여주고 다시 선택할 수 있게 해준다. 는 설명이 필요한 것이죠.
06/12/06 23:26
六道熱火님 // 같지 않은 경우를 동등한 값으로 취급해서 1/2이라고 생각하시고 계십니다. 이번에 한국이 아시안게임 축구에서 금메달 딸 확률이 얼마입니까? 금메달 따거나 못따거나 둘 중 하나이니까 1/2인가요? 제가 보기엔 六道熱火님의 말씀이 이런 식으로 같은 값을 갖지 않는 경우를 같게 취급하여 1/2이라고 말씀하시고 계십니다. 왜 같지 않은지는 다른 분들도 많이 설명해주셨습니다. :)
06/12/06 23:28
사회자가 문을 여는 행동을 보여주었기에 확률분포가 1/2, 1/2, 0이 된 겁니다. 하나의 꽝인 문을 열어주고 꽝이라는 것을 확인시켜준 순간 그 문의 당첨확률은 0이 됩니다. 더이상 선택할 필요가 없죠.
그리고 사회자의 개입이 없이 한개 문과 두개 문중 하나를 선택하라는 것은 각각 1/3과 2/3이 맞습니다. 근데 문제는 두개의 문 중 하나를 제외한다 해도 확률이 2/3으로 고정되지 않는다는 말이죠. '선택하지 않은 나머지 문의 확률 총합은 일정하다' 라는 명제가 잘못되었습니다. 선택하지 않은 문들의 개수를 변화시키면 그 영향은 선택하지 않은 문들의 확률 뿐만 아니라 선택한 문의 확률또한 변화시킵니다.
06/12/06 23:31
아만자님은 진행자의 심리상태까지 고려하시는 세세함을 보이시지만
다시한번 말씀드리지만 몬티홀은 그런것을 배제하고 푸는겁니다. 그런설명이 필요없어요.
06/12/06 23:39
http://www.mathlove.org/pds/materials/stories/paradox.htm
위 링크에 나와있는 몬티-홀 문제라면 그런 상태가 필요합니다. 그런 것을 배제하는 것은 '사회자는 항상 참가자가 선택하지 않은 문 중에서 꽝인 문을 하나 보여주고 다시 선택할 수 있게 해준다.'는 전제가 있기에 가능합니다. 그런 전제가 없다면 六道熱火님의 말씀처럼 사회자의 의도를 알 수 없기 때문에 확률 분포가 1/2, 1/2, 0이 되는 것이 오히려 맞습니다. 하지만 그런 전제가 있기 때문에 확률 분포는 2/3, 1/3, 0이 되는 것이죠.
06/12/06 23:40
위의 문제 설명에는 빠졌을수도 있지만, 몬티홀문제란것을 알고 접근하면 '사회자는 항상 참가자가 선택하지 않은 문 중에서 꽝인 문을 하나 보여주고 다시 선택할 수 있게 해준다.' 란게 이미 깔려있어요. 문제에 설명안해도 저리 인식하고 풀어야합니다.
06/12/06 23:45
MSTran/ 예. 제가 지적하고 싶은 것이 그것입니다. 유게에 처음 올라온 문제에도 그렇고 저 링크에 나온 문제에도 그런 설명이 없어서 몬티홀문제에 대해 모르는 분들이 문제를 보신다면 그런 인식을 갖지 못하기 때문에 더욱 혼란스러워하시는 것 같다는 생각이드네요.
06/12/06 23:46
'사회자는 항상 참가자가 선택하지 않은 문 중에서 꽝인 문을 하나 보여주고 다시 선택할 수 있게 해준다' 라는 정보로 얻을 수 있는 것은 '사회자가 선택한 문을 제외한 나머지 문중 하나에 차가 있다.' 라는 것입니다. 그 중에서 '내가 선택한 문의 확률이 1/3으로 유지되고, 내가 선택한 나머지 문의 확률이 2/3으로 유지된다' 라는 정보는 없습니다.
'선택하지 않은 문의 개수가 어떻게 변화되더라도 확률 총합은 2/3으로 유지된다' 라고 확신할 수 없는 한 1/2,1/2,0 의 확률분포를 가진다고 생각하는 것이 맞습니다.
06/12/06 23:57
'선택하지 않은 문들의 개수를 변화시키면 그 영향은 선택하지 않은 문들의 확률 뿐만 아니라 선택한 문의 확률또한 변화시킵니다.' 라는 말이 잘못되었습니다.
위에 이미 설명했듯이 한번 선택한 문의 확률은 변하지 않습니다. 일단 선택한 문은 1/3 확률이고, 이후 문의 수를 바꾼다고 해도 처음 그 문을 다시 선택하면 여전히 1/3입니다. 문이 2개로 줄던 100개로 늘던 처음 선택한 문만큼은 1/3입니다. 다시 선택하는 순간 확률이 변하는게 아닙니다. 위에 했던 예를 다시 든다면 10개 문중 9개가 정답이라면 처음에 선택할때 확률은 90%입니다. 그리고 문을 추가해서 1억개가 된 상태에서 다시 선택할 기회를 준다고 했을때 님 말대로라면 모든 문이 '9/1억'가 되겠지만 실제로는 처음 선택한 문을 다시 선택하면 당첨 확률은 90%인 겁니다. 나머지 99999999개의 문이 10%확률을 나눠먹는것이 되죠.. 만약 문의 수를 바꾼후에 처음 선택한 문이 뭔지 모르게 섞는다면 님말대로 일정한 확률이 되겠지만.. 처음 선택한 문을 알고 있기때문에 그 문만큼은 확률이 변하지 않는 것입니다.
06/12/06 23:59
저 역시 六道熱火 님께 GG.
keke 님 // '몬티홀'문제를 모르는 사람은 저렇게만 주어지면 그렇게 생각하는게 일반적이라기보다, 제가 쓴 100만원 빵 얘기처럼 생각해보는게 좀 더 일반적이지 않을까 합니다. 리얼 시츄에이숀에 더 근접하달까요?
06/12/07 00:03
제가 친구들한테 물어봤을때나 학교같은데서 들어봤을때도 그렇고 게시판의 대세도 그렇고.. 진행자의 심리상태까지 신경쓰는 사람은 보질 못했습니다.
06/12/07 00:06
조건에 따라 선택한 문에 상품이 있을 확률은 변합니다.
문을 추가해서 1억개가 된 상태에서 다시 선택할 기회를 준다면 10개 문중 나머지 문에는 '상품이 없다' 라는 정보를 알고 있기 때문입니다. 이 경우에는 10개 문을 제외한 나머지 문은 선택을 하지 않기 때문에 의미가 없는 문들이 되어 버리죠. 하지만 문을 1억개로 늘린 다음에 상품의 위치를 임의로 바꿔 놓으면 확률은 1억분의 1로 떨어지게 됩니다. 이것을 문의 개수를 줄이는 경우에 적용하는 것도 마찬가지입니다. 10개의 문 중에 하나를 선택합니다. 이후 사회자가 자기 맘대로 문 하나를 빼버립니다. 이때 당첨 확률은 1/10입니다. 10개의 문 중에 하나를 선택합니다. 이후 사회자가 꽝인 문 하나를 빼버립니다. 선택을 그대로 유지하는 한 당첨 확률은 1/10입니다. 10개의 문 중에 하나를 선택합니다. 이후 사회자가 꽝인 문 하나를 빼버립니다. 이 경우 선택을 다시 하면 당첨 확률은 1/9입니다. 비슷비슷한 상황이라도 약간의 차이에 따라 달라지는 것이 확률입니다. 그 상황에 따라 확률이 유지될 수도 있고, 확률이 변할 수도 있는 것이죠.
06/12/07 00:14
六道熱火님께 저는 그저 gg.
많은분들이 설명하셨던 부분을 이해하신다면, 왜 몬티홀은 1/3와 2/3이 되는지 아시리라 믿습니다.
06/12/07 00:25
六道熱火// 개인적으로 친구와 함께 직접 저 실험을 해보시기를 추천해 드립니다
딱 60번만 하시고 바꿨을때 20번인지 30번인지 세아려 보시면 생각이 바뀌실듯 하네요
06/12/07 00:26
님말대로 1억개로 늘려도 나머지 문은 확률이 0 이라는 정보를 알고 있으므로 확률에 영향이 없죠. 이후에 문을 임의로 섞으면 1억분의 1로 떨어지는 것이죠..
마찬가지로 원래 문제로 돌아와서.. 처음 선택한 문이 3분의 1이라는 정보를 알고 있으므로 이후에 문의 수를 줄여도 확률에는 영향을 주지 않습니다. 님말대로 문의 수를 줄인후에 임의로 섞어야 2분의 1로 일정해지는 것이죠..
06/12/07 00:31
六道熱火 님/
참가자는 항상 자기가 처음 선택한 것을 밀고 나가자는 방침을 정했다고 합시다. 참가자 10개의 문 중에 하나를 선택합니다. 이 후 사회자가 참가자가 선택한 문을 제외한 꽝인 문 8개를 빼버립니다. 그럼 2개의 문이 남는데 어짜피 확률은 1/2, 1/2 이라면 처음 것을 선택하는 방침을 고수해도 당첨 확률 1/2이죠? 그렇게 생각하신다면 저랑 내기합시다! ^^;;; 님께서 10개 중에 하나 고르고 난 후에 선택한 것을 제외한 꽝 8개를 빼버리도록 하겠습니다. 그렇다면 님께서 생각하시는 확률은 1/2이니까 100원 거셔서 맞추시면 200원 드리는 것으로 할게요. 대신 님께서는 처음 선택한 것을 고수하는 정책을 펼쳐주세요.-_- 어짜피 확률은 1/2이니까 괜찮지 않겠어요? 아싸.. 승리는 나의 것 -_-v
06/12/07 00:43
아만자님 ...........한문님도 뭐라 못하실꺼같은데요! 이야 적절한 설명의 등장
딱 20판만 하면 흘흘흘 돈좀 짭짤하게 챙기시겠습니다.
06/12/07 00:47
경우의 수를 따져보면 총 네가지입니다.
편의상 자동차, 꽝1, 꽝2라고 해보죠. 내가 자동차를 선택했을때 사회자가 꽝 1을 선택합니다.(꽝 2가 남아있습니다.) 내가 자동차를 선택했을때 사회자가 꽝 2을 선택합니다. (꽝 1이 남아있습니다.) 내가 꽝 1을 선택했을때 사회자가 꽝 2를 선택합니다. (자동차가 남아 있습니다.) 내가 꽝 2를 선택했을때 사회자가 꽝 1을 선택합니다. (자동차가 남아 있습니다.) 총 네가지 경우가 있는데 남아있는 문에 자동차가 있는 경우는 2가지입니다.
06/12/07 00:54
계속 얘기해봤자 결론이 안나는 것이 아니라 결론이 제대로 나있는 것을 계속 말씀하고 계신 것 뿐인데요. [...]
처음 선택을 무시하고 다시 한 번 '문을 선택' 한다면 확률은 1/2입니다. 혹은 차가 있는 위치가 랜덤으로 바뀐다면 역시 1/2입니다. 문제는 사회자가 하나의 문을 여는 것과 동시에 1/3의 확률이, 육도열화님 말씀은 나머지 두개의 문으로 나눠진다고 말씀하시는 것인데 그건 절대 나눠지지 않습니다. -ㅅ-; 이미 차가 들어있는 문은 결정이 나있기 때문입니다. 이 경우를 생각해보십시오. 예를 드는 물건만 바뀌었지 이야기는 똑같습니다. 복권을 10000장 발매했습니다. 나는 복권을 한장 샀습니다. 이때 내가 산 복권이 당첨복권일 확률은 1/10000 입니다. 번호는 0000부터 9999까지입니다. 그 중에 잘못 발행된 번호가 있어서 9999번은 인쇄가 되지 않고 9998번이 중복 발행이 되었습니다. 그래서 그 두 개의 번호는 절대 당첨번호가 아니라는 사실이 발표가 되었습니다. 이 때 확률이 변할까요? 당첨번호는 이미 정해진 상태였고, 9998과 9999는 절대 당첨번호가 아니라는 사실이 알려졌습니다. 그렇다고 내가 이미 산 복권의 당첨확률이 올라갈까요? 그 시점에서 모든 사람이 복권을 새로 구입한다면 올라갈 것입니다. 혹은 0000부터 9997까지 중에서 당첨번호를 다시 랜덤하게 결정한다면 역시 당첨할 확률은 올라갈 것입니다. 그러나 나중에 아무리 '이 번호는 당첨되지 않습니다' 라는 정보를 준다고 해서 자신이 쥐고있는 복권의 당첨확률이 올라가진 않지요. 아니면 내가 복권을 선택한 후 주최자가 하나씩 아닌 번호를 줄여나가서, 마지막에 두 번호만 남았다고 합시다. 이 때, 복권을 바꿀 기회를 주었다면? 육도열화님의 생각대로라면 분명 1/2일겁니다. 바꾸거나 바꾸지 않거나 마찬가지란 거겠죠. 하지만, 바로 그러한 경우의 수가 9999가지가 있는겁니다. 주최자의 입장에서 생각해보십시오. 처음에 내가 가진 복권이 당첨일 확률은 1만분의 1밖에 되지 않습니다. 주최자는 결국 '두 개'의 선택지만 남기고 9998개를 줄여야하죠. 결국 내가 처음에 찍었던게 꽝이었다면, 반드시 당첨이 남게된다는 겁니다. 주최자가 9998개를 줄였으므로 바꾸면 반드시 당첨인겁니다. 내가 처음에 맞게 찍었다면? 바꾸면 틀리죠. 하지만 그럴 확률은 1만분의 1밖에 되지 않습니다. 그러므로 바꾸어야 하는겁니다. 아만자님이 제시한 게임을 할때 바꾸지 않는 결정을 미리 내린다면 그건 정말 주최자 입장에서는 봉 밖에 안됩니다. 난 이미 꽝을 찍었고 9998개를 '어떤 순서로 줄이건' 남은 것은 반드시 당첨복권인데, 바꾸지 않으니 정말 어처구니가 없을 겁니다. 하지만 애초에 내가 당첨을 쥐었을 확률은 1/10000입니다. 그런데 주최자가 9998개를 줄여주었다고 이것이 당첨일 확률이 상승했다고 생각하는 것은 정말 어이없는 일입니다. 왜냐, 내가 이 복권을 이미 손에 쥐고있으니까요. 확률의 바깥에 나간거죠.
06/12/07 00:57
六道熱火 /
내가 자동차 선택했을 경우(꽝이 남을 경우이죠)는 1/3의 확률인데 2번 세셨네요. (아냐아냐.. 내가 설명하면 불리해...) 아이고.. 그러지 마시고 저랑 내기 하시자니까요.. 좋습니다 위에서 제가 제안한 대로 하시고 대신 100원 거시고 맞추시면 300원 드리겠습니다.! 님의 생각대로라면 기대값이 150원이니 이익보는 내기 아닙니까! 100판은 보장해서 해드립죠.
06/12/07 00:59
六道熱火님//
경우의 수가 확률을 말해 주는 것은 아닙니다. 왜 그러냐면... 이곳분들이 알기 쉽게 설명하죠. 온게임넷 스타리그에 이윤열선수와 이병민선수, 오영종선수와 전상욱선수가 준결승에 올라갔습니다. 모든 선수의 우승확률은 1/4죠. 이중 이윤열선수가 이병민선수에게 승리해서 결승에 선착했습니다. 이경우 모든선수의 우승확률이 1/3가 되나요? 우승의 경우의 수는 총 3가진데요. 아니죠. 이윤열선수의 우승확률만이 1/2로 상승하고 전상욱선수와 오영종선수는 그래도 1/4죠. 경우의 수=확률 은 아닙니다.
06/12/07 01:00
아만자님/ 10개로 하지 말고 1만개로 하십시오 ^^; 1만개중에 선택하게 하고 1만원 걸라고 하십시오. 맞추면 100만원 준다고 하고요.
필승입니다. 나중에 당첨 아닌거 9998개 까발리고 다시 선택할 기회를 줬을 때, 바꾸지 않는다면, 애초에 이 선택은 없는거나 같습니다. 그러니 당연히 1/10000의 확률로 머물러있게 되는 것인데 이걸 이해못하는 사람은 절대 도박해서는 안되죠. 완전 봉이니까 -ㅅ-;
06/12/07 01:02
계속 드린 말씀이지만 복권 추첨 상황에 따라 확률이 바뀐다는 것입니다.
9998번이 중복 발행되고 9998과 9999번은 절대 당첨번호가 아니라는 상황에서 추첨을 한다면 당연 복권 당첨 확률은 1/10000이 아니라 1/9998 확률이 됩니다 (내 번호가 9998번이 아니라는 가정이라면요) 1부터 10000까지 번호를 추첨한다면 확률이 1/10000이 되고 1부터 9998까지 추첨한다면 1/9998 확률이 되는 겁니다.
06/12/07 01:04
경우의 수가 확률이 아니라... 경우의 수가 적용될 조건이 아니다라는 것은 제시되어 있지 않습니다.
모든 경우의 수에서 조건을 만족시키는 경우의 수를 이용하여 확률을 계산하는 것 아닌가요.
06/12/07 01:07
육도열화님/ 그럼 제가 제시한 게임을 해보십시오. 0000~9999까지 중에 번호 하나를 선택하세요. 그리고 1만원을 거십시오.
그 다음, 제가 정답이 아닌 번호 9998개를 제거합니다. 그 다음에 다시 선택할 기회를 드립니다. 이 때 바꾸나 안바꾸나 똑같을까요? 정답을 아는 제가 9998개를 제거했으니 당연히 남은 번호가 정답일 확률이 처음 님이 고른 번호가 정답일 확률의 9999배 높습니다. -ㅅ-; 그런대도 바꾸지 않으신다면 님은 정말 제 봉입니다. 제가 맞추면 백만원 드린다고 해봐야 놀리는 것 밖에 안되는겁니다. 왜냐, '바꿀 수 있는 기회를 주더라도 절대 바꾸지 않는다' 라면 그건 그 선택 자체가 없는거나 마찬가지이기 때문입니다. 두 번호중에 다시 당첨번호를 선택해서 주최자인 저도 어느게 당첨인지 모른다면 확률은 반반입니다만, 경우가 틀리죠. 애초에 1/10000 확률 가운데 선택하셨습니다. 그 확률이 올라간다고 생각하는건 정말 수학적이지 못한 상상력이죠.
06/12/07 01:37
그렇군요. 세츠나님의 말이 맞는 것 같습니다.
두 번호에서 다시 임의로 결정을 해야지만 1/2가 되는군요. 제가 잘못 생각했던 것 같습니다.
06/12/08 00:14
뭐 이미 다 끝나서 보는 사람 없을 듯하지만, 니델님의 질문이 궁금해지네요. 사회자도 답을 모르는 상태에서 참가자의 선택 후 남은 두 문 중에 하나 열었는데 그게 꽝일 경우, 이 경우는 바꾸든 안 바꾸든 똑같이 1/2, 1/2의 확률일 것 같은데요.
06/12/08 00:30
즐거운하루님//
사회자가 답을 아는지 모르는지가 중요한 것이 아니라 열려진 문이 꽝인지 아닌지가 중요한 것입니다. 단 사회자가 모를 경우엔 문을 열었을 때 자동차가 나올 가능성이 있으므로 1/3, 1/3, 1/3이 되는 거죠. 꽝인것이 확인된 후에는 1/3, 2/3이 맞습니다.
06/12/08 02:08
사회자가 꽝인 문을 열어준다고 해서 자기가 원래 선택했던 문에 대한 정보를 더 얻게 되지 않습니다.
어차피 차는 하나밖에 없으니까, 자기가 선택하지 않은 두 문 중 적어도 하나는 꽝이라는 건 안 열어줘도 당연한 겁니다. 사회자는 이미 분명히 알고 있는 사실을 확인해 줬을 뿐이죠.
06/12/08 02:14
사회자가 답을 모르는 상태에서 열어본다면 참가자가 당첨이라면 100% 꽝인 문을 열 테지만, 참가자가 꽝이라면 50% 확률로 꽝인 문을 열잖아요. 그러니까 사회자가 연 문이 꽝이라는 정보를 알게 되면 참가자가 당첨일 확률은 좀 높아질 거 같은데요.
06/12/08 20:44
즐거운하루//// 만약 사회자가 참가자가 선택한 문을 포함해서 3개의 문중에 아무거나 열었는데 참가자가 선택한것이 아닌 다른문에서 꽝이 나왔으면 참가자가 선택 한 문의 당첨확률은 1/2로 올라갑니다.
그러나 이경우 사회자는 애초에 참가자가 선택한 문을 제거 하지 않기떄문에 참가자가 선택한 문의 확률은 올라가지 않고 사회자가 공개할 대상이 되었던 나머지 두개 만이 확률의 변동이 생기게 됩니다.
|
||||||||||