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06/12/06 13:18
세상에는 자기가 믿으려 하는 것만 믿는 사람들이 있는거 같아요... 글쓴분도 거기에 해당하네요..
논리적으로 님의 주장을 깨드리죠. "처음 선택한 문"을 "바꿀 것인가 바꾸지 않을 것인가"는 독립사건이 아닙니다 ^^
06/12/06 13:26
주어진 문제는 독립시행이 아닙니다
그리고 그냥 웃자고 만들어진 문제도 아닙니다 실제로 2006학년도 경찰대 시험문제 수학 확률문제에 똑같이 나와서 (문제 텍스트 자체는 달랐습니다 범인을 잡을 확률로 냈거든요) 많은 학생을 당황하게 했던 확률에서는 유명한 문제입니다
06/12/06 13:29
문이1000개가 있다고 칩시다 상품은 그중 하나의 문 뒤에 있구요
처음 도전자가 문 하나를 선택했을시 맞출 확률은 1/1000이겠죠 사회자가 998개의 꽝인 문들을 공개했습니다 선택했었던 문과 나머지 한개의문 어느게 더 당첨확률이 높을까요? 아직도 1/2인가요?
06/12/06 13:36
근데 제가 알기로는 몬티 홀이 이런 유머 사이트에서 돌아다닐 만한 문제가 아니라고 알고 있는데-0-
이 문제 실제로 학술지에 게재되었을 때도 굉장한 논란이 인 끝에 해결이 안 된것으로 알고 있습니다만..
06/12/06 13:46
확률은 '선택하는 순간' 에만 의미가 있습니다. 선택하는 순간의 조건을 따져 확률을 따지니까요.
몬티홀 문제에서 처음으로 자동차를 선택하는 순간 확률은 1/3입니다. 근데 이후에 사회자가 꽝인 문을 열고 다시 선택하는 순간 이미 앞의 확률은 의미가 없게 된 거죠. 그래서 답은 1/2가 맞습니다.
06/12/06 13:53
이 아래 글에 우라질놈 님이 간단명쾌한 설명을 해 놓으셨습니다. (아 이거 닉네임 언급하기가 민망하군요...)
제가 풀어서 다시 말씀드리면, 선택의 기회가 두 번이기 때문에 이런 일이 발생합니다. 가장 처음에 당첨을 선택할 확률은 1/3입니다. 사회자가 꽝 하나를 제거해 주었습니다. 처음에 당첨을 선택했기 때문에 남아 있는 문은 무조건 꽝입니다. 이 경우, 바꾸면 무조건 꽝입니다. 맞지요? (안 바꾸면 물론 당첨입니다.) 가장 처음에 꽝을 선택할 확률은 2/3입니다. 사회자가 다른 꽝 하나를 제거해 주었습니다. 이 경우 남은 문은 무조건 당첨입니다. 그러므로 바꾸면 100% 당첨입니다. 맞지요? (안 바꾸면 물론 꽝입니다.) 즉 처음에 꽝을 선택할 확률이 2/3이기 때문에 바꾸면 당첨확률이 2/3이 되어버리는 역설적인 일이 발생하는 겁니다. 거꾸로, 무조건 안 바꿀 경우에는 처음의 당첨확률 1/3을 그대로 가져가게 됩니다. 즉 바꾸면 2/3. 안 바꾸면 1/3입니다. 바꿀 경우 확률 식은 무지 간단합니다. (2/3X1)+(1/3X0)=2/3+0=2/3
06/12/06 13:57
3개중에 하나를 선택했을때 꽝을 선택할 확률은 2/3 입니다.
이때 나머지 둘중에 꽝을 알려주고 바꾸라고 하면 바꾸기만하면 무조건 당첨이죠. 이건 다시 선택하고 말고가 아니고 바꾸기만 하면 무조건 2/3 확률로 당첨인겁니다. -_- 독립시행같은게 아니에요. 밑에 2893 번 글을 보고도 이런글이 나오다니...;; 자신이 맞다고, 논쟁글 보면 강하게 자기 주장펴시는 글 많던데.. 정작........쩝... <- 이렇게 쓰셨는데.. 아무래도 본인에게 해당되는듯.. ;
06/12/06 14:22
글쓴이님 몬티 홀의 법칙에 대해서 알고 계시는지 조차 의심스럽군요. 글곰님의 설명이 가장 명확하며 이미 학계에서도 그쪽으로 가는 것이 맞다고 많이 인정했습니다. 바꾸는게 확률이 2/3이고 안 바꾸는 것이 1/3이라고. 독립시행과는 거의 다른 나라 이야기입니다. 요즘은 논구술 공부하는 고등학생도 많이 아는 사실인데..
06/12/06 14:24
몬티홀 문제의 요점은 '바꾸는 것과 안 바꾸는 것'의 확률을 물어보는 것이지, 하나를 빼고 둘 중 하나를 선택하는 문제가 아니라는게 요점이죠, 그러므로 독립시행이 아닙니다.
바꾸지 않았을 때의 확률은 처음에 당첨을 선택할 확률과 같고, 바꾸었을때의 확률은 처음에 꽝을 선택할 확률과 같습니다. 왜 그런지는 조금만 생각해보면 알텐데요. - -;
06/12/06 14:26
이전의 정보가 있으면 확률은 바뀝니다. 몬티홀 문제에서 애초부터 답을 알고 있는 사람도 1/2, 1/2 확률인가요? 그 사람에게는 정보가 있기 때문에 100%, 0%라는 확률만 있죠. 몬티 홀 문제의 전제인 "사회자가 답을 알고, 일부러 꽝인 것을 공개했다'는 정보가 있으므로 확률이 바뀌는 겁니다. 님께서는 어느 상자에 들었는지 알고 있는 사람에게도 확률은 반반이라고 하시겠네요.;;
동전의 예를 드셨으니 그 예로 설명 드리죠. 특수제작한 동전이 있는데, 밀도를 미세하게 조작하여 앞면이 나올 확률이 60% 정도 된다고 칩시다. 이걸 모르는 사람에게 동전을 던지면 앞면이 나올 확률은 몇%일지 물어보신다면 50%라고 대답하겠죠. 하지만 앞면이 나올 확률이 60%라는 것을 아는 사람에게는 60% 입니다. 정보에 따라서 달라지는 거죠.
06/12/06 14:38
제 생각으로는 많은 분들이 매우 중요한 어떤 전제를 빠뜨리신 것 같습니다. 그것은 바로 사회자가 '꽝인 문을 열어보여야할 의무(또는 쇼에서 그렇게 하도록하는 법칙)'가 있느냐 마느냐 입니다. 사회자가 '꽝인 문을 열어보여야할 의무'가 있다면, 바꾸는 것이 맞습니다. 하지만 사회자가 꽝인 문을 열어보여야할 의무가 없다면 1/2이 맞습니다.
다른 분이 예를 드신 것처럼 문이 10개가 있습니다. 내가 1번 문을 골랐더니 사회자가 꽝인 문을 열어보여야할 의무가 없는데도 꽝인 8개의 문을 열어 보였습니다.(이 때 확률이 1/10에서 1/2로 대폭상습합니다! 이미 1차 관문 통과 -_-) 이 때 꽝인문과 당첨문일 확률은 각각 1/2입니다.(혹은 사회자의 성향에 따라 확률이 달라질 수 있습니다.) 하지만 일반적인 몬티홀 문제는 참가자가 n(n은 3이상의 자연수)개의 문 중에 하나의 문을 선택한 후에 사회자는 꽝인 문 n-2개를 열어 보여야할 의무가 있다는 전제가 있는 것 같습니다. 만약 그런 의무(또는 게임의 법칙)가 있다면 문을 바꾸는 것이 좋을 것입니다. 하지만 의무(또는 법칙)가 없을 경우는 어떻습니까? 예를 들어 어떤 사회자는 얄궂게도 참가자가 당첨문을 선택할 경우에만 꽝인 문을 열어서 보여준다는 개인적 신념(?)을 갖고 있다고 생각해봅시다. 이럴 경우에는 사회자가 꽝인 문을 열었을 경우에는(이 때 당첨이 결정된 것이죠) 처음 것을 고수한다면 항상 100%의 당첨확률입니다. 하지만 대부분의 경우(n-1/n)에는 꽝인 문을 열어보이지 않을 것이므로 사실 의미는 없겠죠.. ^^; 어쨌거나 결론은 사회자는 꽝인 문을 열어보여야할 의무가 있느냐, 마느냐에 따라 확률은 달라진다. 다만 몬티홀문제는 '사회자는 꽝인 문을 열어보여줘야한다는 의무가 있다.' 는 전제를 포함하고 있다. 입니다. amulet02 님도 위 내용을 생각해보시면 독립적인 사건이 아니기 때문에 일반적인 몬티홀 문제에서는 바꾸면 2/3의 확률, 바꾸지 않으면 1/3의 확률임을 아실것입니다. 생각해보십시오. 1~1000 사이의 숫자중 하나만 맞추면 당첨이 되는 경우가 있는데, 일단 참가자가 하나를 고르면 '진행자가 998개의 꽝인 숫자를 가르쳐주고 바꿀 기회를 줘야만 하는 의무'가 있다고 해봅시다. 이 경우 amulet02님은 바꾸는게 당연하다고 생각지 않으십니까? 이 경우는 999/1000 의 확률로 당첨되는 센스를 발휘하세요~ ^^ 하지만 그렇게 진행해야하는 의무가 없는데도 진행자가 꽝인 번호를 가르쳐주었다면(독립적이지 않습니다. 이미 확률이 대폭 올라간 것이라고 봐야죠) 진행자의 의도를 파악해야하는데... 이럴 경우는 아무래도 1/2이 되겠죠?
06/12/06 15:08
keke/ 몬티홀 문제에서 사회자가 나머지 꽝인 문을 열어야한다는 쇼의 법칙이 있었나요? 그건 잘 모르겠네요. 하지만 참가자가 상품을 얻는 방법은 문 3개 중 '하나'를 고른다고 전제되어 있습니다. 어쨌든 그런 법칙이 없는데도 불구하고 진행자가 꽝인 문을 열어줬다고 문을 덥썩 바꾼다면 절대 2/3가 나올 수 없습니다.
왜 의무(쇼의 법칙)가 있는지 없는지의 전제가 중요하다는게 엉뚱한 소리인지 모르겠군요.
06/12/06 15:11
매우 엉뚱합니다. 당연히 꽝인 문을 열어준다고 문제에 나와있는데 의도같은 말씀을 하시다니.. -_-; 밑에글들을 보셔요.
이런 문제에서 주어진문제는 글자그대로 해석해야죠 -_-; 이렇게 맘대로 문제를 해석하고 바꾸면 답은 천차만별로 나올겁니다. 님 말대로 제가 해볼까요? 답은 1/3 입니다. 왜냐구요? 참가자가 무엇을 고르건 어차피 승용차는 무조건 첫번째 문뒤에 있기 때문이죠.
06/12/06 15:31
keke/ 마음대로 해석한게 아닙니다. 그 쇼에서 진행자가 평소에도 항상 꽝인 문을 열어주었다면 모를까, 평소에는 꽝인 문을 열어주는 적이 없었는데 그 날은 진행자가 열어줬다면 답을 아는 사람의 의도가 숨겨있을 수 있기 때문에 단순한 확률로 계산할 수 없습니다. 그렇기 때문에 평소에도 꽝인 문을 열어줬었는지 여부가 전제로서 매우 중요합니다. keke님의 뒷 쪽 댓글은 별로 관계가 없어보이는군요.
도대체 '진행자는 항상 꽝인 문을 열어주도록 되어있다'고 문제의 어느 부분에 나와있나요? 문제를 보면 "자, 당신은 문 하나를 골랐습니다. 그러자 사회자는 당신이 고르지 않은 두 개의 문 중 꽝인 문을 하나 열어보였습니다." 라고 되어있을 뿐입니다. 오히려 '그러자' 등의 단어로 인해 어감상 평소에 하지 않던 갑작스런 진행자의 행동으로 해석할 여지가 있습니다.(전체적인 흐름상 사회자는 항상 꽝인 문을 열어주어야한다 는 느낌은 별로 없습니다만...) 논리를 전개하는데 있어서 전제는 말 그대로 전제이기 때문에 매우 중요합니다. 그 전제를 명확히 해두고 싶은 제 글이 엉뚱하게 받아들여지니 아쉽네요.
06/12/06 15:36
에휴 -_- 님말씀대로 되려면 문제에 나와야죠. 사회자는 그날 기분에 따라 꽝인문을 열어주기도 하고 안 열어주기도 합니다. 라고요. 열어줬다고 나와있는데 대체 왜 그렇게 생각하십니까.
하여튼 님말씀대로 하자면 무조건 1/3 이라니까요. 첫번째문 뒤에 승용차요. 도대체 승용차가 랜덤하게 들어가 있다는 말이 문제의 어느부분에 나와있나요?
06/12/06 15:39
글쓴님. 밑에 시뮬레이션 결과는 제대로 읽고 말씀하셔야죠. 1-3 선택하고. 하나 문 제끼면. 제낀문이랑. 선택한거 빼고 나머지 하나를 선택하도록 프로그래밍 되어 있습니다.
강한 확신에 대해서 늘 경계하는 마음을 가지시는건 어떨까 조심스럽게 충고드립니다.
06/12/06 15:56
keke/ 그러니까 그런 전제가 나와있는 않은것을 지적한것입니다. 단순히 열어줬다고 나와있는걸 말하는게 아니라 평소에도 열어줬는지의 여부가 중요한 것입니다.
또한 문제의 조건을 보면 1/3아닙니다. 왜냐하면 첫번째문에 승용차가 있더라도 사회자가 꽝인 문을 열어주고 그 후에 선택 가능하게 했기 때문에 확률은 1/3 보단 크게 됩니다. 랜덤하든 말든 그건 상관이 없습니다. 참가자가 어느 문에 있는지 모른다는게 중요한 것이지요. 따라서 승용차가 랜덤하게 들어있다는 전제는 필요없구요. 참가자가 모르단다는 전제가 중요합니다. 그리고 그건 상식적으로 문제에서도 의도한 부분이구요. 제가 왜 그렇게 생각하는지 모르신다면 제가 중요하게 생각하는 전제를 상식적으로 '평소에도 열어준다'고 판단하셨기 때문입니다만, 저는 전체적인 퀴즈의 어감상 '평소에도 꽝인 열어준다'고 판단하기 어렵기 때문입니다. 정 답답하시면 그냥 그런 전제에 따라 달라질 수 있다고 쓴 것 뿐이라고 생각하시면 됩니다. 실제로 그런 전제에 따라 달라진다는 것에 생각이 다르시면 글을 쓰시구요. 왜 전제에 따라 답이 달라질 수 있다고 쓴 것에 답답해 하시나요? keke님 께서 그런 전제가 문제에 포함되었다고 느끼시면 그냥 그렇게 생각하십시오. 저는 문제에 포함되어있다고 생각하지 않았을 뿐이며, 그 문제는 논리와는 별개로 해석의 여부가 달라질 수 있다고 생각합니다.
06/12/06 15:59
아만자// 몬티 홀의 법칙이라는 것 자체가 그런 전제를 깔고 있는 문제입니다. 몬티 홀의 법칙에 관한 문제에서는 항상 모든 학자가 그러한 전제를 가지고 접근했었습니다. 왜냐구요? 그 몬티 홀의 법칙이라는 말이 탄생한 그 쇼에서는 항상 사회자가 문을 열어주었기 때문이죠. 그러면서 항상 물어봤죠. "바꾸시겠습니까?"라구요.
06/12/06 16:18
KuTaR조군// 제가 기대한 것이 바로 KuTaR조군님과 같은 말씀입니다. ^^ 그런 전제가 있다는 것을 확실히 알고 있다면, amulet02님도 다시 생각해보시면 금방 아실 것 같다는 생각이 드는군요.
06/12/06 16:21
이렇게 논리적으로 명확한 '정답'이 존재하는 문제에 있어서조차 논란이란게 존재하는걸 보면 세상일과 가치관에 대해 논쟁하는 게 얼마나 어려운 일인지 알 수 있는것 같습니다.. 자기가 틀릴 수 있다는 사실을 항상 받아들이고 삽시다. 어려운 일이긴 하지만.
06/12/06 16:31
아만자님 말씀이 맞는데요;;
지금 리플중에 몬티홀을 여기서 처음 접하신분들의 글이나 확실히 모르시는 분들 글 보면 "사회자가 꽝(양)이 있는 문을 열어준다면" 이라는 것이 전제라는 것을 모르고 그냥 처음 게시된 글 그대로 생각하시는 분들 많은거 같습니다. 유게에 처음 올라온 글보면 문제가 약간 잘못되었죠. 즉 문을 고르는 사람은 이미 사회자가 꽝인 문을 하나 열어줄것이라는 것을 알고 사회자가 문을 열었을때 바꾸는 것이 좋은가 나쁜가를 선택하는게 문제입니다. -_-; 문을 고르는 사람이 사회자가 하나 열고 2개의 문만 남았을 때 당첨된 확률을 고르는것이 아니라 (당연히 이것은 1/2 입니다) 문을 바꾸는게 좋은가 나쁜가를 선택하는 것이죠.
06/12/06 16:47
이미 두 번째 선택상황이 올 때는 첫 번째 각 문의 확률은 의미가 없어집니다.
이미 하나의 꽝을 사회자가 제거해 준 이상, 더이상의 1/3이란 확률은 의미가 없죠.
06/12/06 19:16
六道熱火님// 몬티홀 문제는 그걸 묻는게 아니라
"사회자가 꽝인 문을 알려줬을때 내가 바꾸는게 맞출확률이 높을까? 안바꾸는게 맞출확률이 높을까?"입니다. 이미 2개남은상황에서 맞출 확률이 아니구요.
06/12/06 20:00
2개남은 상황에서 맞출 확률이랑 선택한 것을 바꾸느냐 안바꾸느냐는 단지 서술 방식만 틀릴 뿐, 동일한 문장입니다.
사회자가 무조건 꽝인 문을 하나 골라내는 것은 1/3, 1/3, 1/3 확률을 1/2, 1/2, 0 으로 바꾸는 과정밖에는 되지 않습니다.
06/12/06 21:17
//님들
크크크 보세요. 이건 직관에 빗나가고 뭐고가 아니라 전제가 완전히 다르군요. 그 이른바 '문헌'들에는 2/3의 확률이라고 나와있지요 당연히 2/3이겠죠, 꽝인걸 알고서도 안바꾼다면. 그런데, 어떤 도전자가 사회자가 2번문이 꽝이란걸 확인시켜줬는데도 2번을 고집합니까? 제 말의 전제는 (이건 상품을 주는 쇼라는 점에서 당연히 전제된) '처음에 선택한 것이 꽝이 아니라'는 가정하에 두개가 남았을때 무얼 선택하나 1/2라는 것이지요. 이건 제맘대로 전제 한것이 아니라 문제에서도 하나의 꽝을 확인시켜주는데까지 진행이 되어있지요. 앞에 카드 1000개중에 998개 열어주신다는분? 제가 처음에 찍은것이 정답으로 의심되는 2개중에 남아있다면 역시 1/2입니다. 정말 궁금한게 대체 어디서 문제에도 나와있지 않은 것들을 다 유추해서 2/3으로 결론 내리신건지 크 그리고 밑에 어떤분 프로그램이 어떻게 돌렸는지 알고나 말하라고요? 크 네 잘알고 말한겁니다. 지금 모두 빠져있는 전제인 '내가 처음 고른게 꽝이 아니었을때'를 잊고 계시는건 아닌지 생각해보세요. 내 맘대로 전제 한게 아니라, 그 문제에서도 거기까지 진행돼있고요. 그리고 강한 확신에 대한 경고를 주신분들은 진심으로 고맙습니다.
06/12/06 21:20
그런데 글쓴님꼐서는 지금 뭐하고 계신걸까요. 이렇게 글쓴님에게 안 좋은 말을 하시는 분이 많으신데.. 이건 글쓴이분이 반박을 하시거나 사과를 하시거나 글을 지우시는 것이 깔끔할 것 같은데요.
06/12/06 21:23
KuTaR조군 님// 바로 위에 반박 하셨네요... ㅎ
amulet02님 // 도전자가 2번문을 선택했을때 사회자는 1,3중 어느 한가지 문이 꽝임을 보여주고 그대로 2번을 선택할 것이냐 아니면 1,3중 보여준게 아닌 다른 문으로 바꿀 것이냐를 묻는것입니다. 오타가 아니라면 잘못이해하고 계신게 아닌지..
06/12/06 21:38
네. 오타가 아닙니다.
문제에서 사회자는 분명히 '꽝'인 문을 열었고(열어야 했고) 그리고 선택지는 2개가 남았고, 그 말을 다른게 표현한 것입니다. 뭐 안좋게 말하는 거는 그냥 그러려니 합니다. 강한 표현이 기분나쁜 사람도 있겠지요. 인터넷이..뭐.. 크
06/12/06 22:31
amulet02님// 문제의 전제는 그것이 아닙니다. 바로 몬티 홀 문제의 진정한 전제의 끝은 사회자가 출연자에게 '혹시 문을 바꾸시겠습니까?'라고 물어보신것 까지가 전제입니다. 그 상황에서 바꿨을 때 승리할 확률과 승리하지 못할 확률을 구하는 것입니다. 즉, 님께서는 전제를 너무 얕게 잡으신거죠. 님이 하신 말씀이 대부분의 학자의 발언이었고 지금은 틀린 발언이라고 받아들여지는 발언입니다.
06/12/06 22:55
본문에 대한 이야기를 잠깐하자면, 지나간 로또를 분석하면 당첨확률 자체는 상관없지만 당첨되었을 때의 '기대값'은 조금 변화를 줄 수 있을지 모릅니다. 지나간 로토번호를 통해 어떻게든 '사람들이 잘 안찍을 번호'를 고르면 그 번호가 당첨될 확률은 똑같지만, 당첨되었을 때 받을 수 있는 돈의 기대값은 높아지죠. 단, 로또를 포함한 모든 복권의 회수율은 39%에 불과하게 때문에 전 로또를 하지 않습니다. 기를 쓰고 머리굴려봐야 50%나 되겠어요?(복권의 당첨금은 판매수익의 50%로 한정되어 있으며 당첨금은 20%의 소득세와 2%의 지방세를 내게 되어서 100을 투자했을 때 회수 기대값은 39밖에 되지 않습니다.)
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