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10/06/09 05:24
a = R cos t, b = R sin t 로 각각 치환할 수 있습니다. t는 0 ~ pi/2 사이의 범위에 들어가야 합니다. R은 양수고요.
좌우 정리하면, R이 날아갑니다. 루트가 전체에 있어 R이 안 날아가면, 아주 작은 R에 대해 좌변만 0으로 수렴하기 때문에, 부등식이 성립하지 않게 됩니다. 이하 cos t = c, sint t = s로 표기하겠습니다. (c^3 + s^3 )^2 >= cs 를 증명하는 문제입니다. (c^3 + s^3)^2 = c^6 + s^6 + 2c^3s^3 인데 차수가 너무 높아 보입니다. c^6 + s^6 = (c^2+s^2)^3 - 3c^2s^2(c^2+s^2) 를 이용해서, 정리해주면 cs의 3차 식으로 낮아집니다. sc의 범위는 1/2보다 작고요. sc를 치환해 주면, 부등식의 좌변이 sc에 대한 3차 이내의 식이 되어서 개형을 그려보면 좌변이 크거나 같다는 것이 증명될될 것 같습니다.
10/06/09 05:48
아이온님께서 좋은 풀이를 적어주셨네요. 음, 저는 조금 다르게 풀었는데
(a^3+b^3) = (a+b)(a^2+b^2-ab) 입니다. (a+b)항에 산술-기하 평균을 적용하면 (a^3+b^3) = (a+b)(a^2+b^2-ab) >= 2 root(ab) (a^2+b^2-ab) (등호조건은 a=b) 그런데 2(a^2+b^2-ab) = 2a^2+2b^2-2ab = (a^2+b^2) + (a-b)^2 >= (a^2+b^2)입니다. (등호조건은 (a-b)=0, 즉 a=b일경우) 따라서 이를 다시 대입하면 (a^3+b^3) = (a+b)(a^2+b^2-ab) >= 2 root(ab) (a^2+b^2-ab) >= root(ab)(a^2+b^2). (등호조건은 a=b) 가 됩니다
10/06/09 13:34
아 제가 지금 확인 했습니다. >= 가 붙어있는게 맞고요.
확실히 10년 넘게 녹슨 실력으로는 무리군요. 꿀호떡님이 산술-기하평균이라는 단어를 쓰기전까지는 그 단어가 있다는 사실조차 까먹고 있었네요. 미국대학 3학기급 문제인데, 한국 수능 수준이라고 보고 레벨판단은 자의적으로 했습니다. 모두들 감사합니다.
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