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12/09/13 18:11
문제가 굉장히 더럽네요.... 기본 아이디어는 OQ의 연장선, OP의 연장선이 큰 반원과 작은 원의 접점과 만난다는 것입니다. (이게 왜 그런지는 정확히 모르겠으나 반원의 각을 줄여서 속안에 들어있는 원을 꽉 담는 부채꼴 모양으로 만들어보면, 완전 대칭인 도형이 나와서 접점과 P와 O는 같은 직선상에 있을수밖에 없습니다.)
그리고 B에서 시작해서 바로 윗 점점까지의 길이가 r, 그 윗 점점까지의 길이는 2r이라는 것이구요.. OQ의 연장선을 이어서 OQ, 아래접점으로 만들어진 직각삼각형으로 피타고라스 정리를 하면 (1-r)^2 = (d+r)^2 + r^2 이 나옵니다. 좌측 삼각형에서도 피타고라스 정리를 쓸수 있고 이 두 가지 식을 짬뽕해보니까 6d = 3r - 2가 나오네요...
12/09/13 18:48
B에서 시작해서 두번째 접점까지 길이를 2r로 놓으셨다는것은
사실은 원P는 반원의 중심인 O에 접해야 한다는 말씀이신거죠? 그렇다면 문제 그림이 이상했던거군요. 답변 감사드립니다~
12/09/13 19:50
저는 그렇게 해서 OP의 길이가 OD - PD = 1-2r이 되고 (점D는 원P와 원O의 접점)
OR = BR-OB = 2r-d PR = 2r이고 삼각형 OPR이 직각삼각형이니 피타고라스의 정리를 쓰면 될거라 생각했는데, 1-4r+4r^2 = 4r^2-4dr+d^2 + 4r^2 4r^2 -4dr + 4r + d^2 -1 = 0 이라고 두긴 했는데 안풀리네요..
12/09/13 20:13
아 위에 Dementia님이 같은 식으로 푸신거네요.
일단 삼각형 OPR에 대한 식을 위와 같이 풀고 Q와 O의 반지름과의 접점을 E라고 두면 다시 삼각형 OQE에서 OQ = 1-r, OE = r+d, QE = r니까 두번째 식을 세우면 r^2 + r^2 + 2dr + d^2 = 1-2r + r^2 r^2 + 2dr + 2r + d^2 - 1 = 0 위댓글 식과 빼버리면 3r^2 - 6dr + 2r = 0 3r -6d + 2 = 0 6d = 3r + 2 군요! 데멘티아님께서 계산실수를 하신 것 같습니다. 갑자기 퇴근하다 생각나서 급하게 와서 풀었네요 크크 오늘 맘편히 잘 수 있을듯...
12/09/13 20:32
많은 분들의 도움을 받아서 드디어 문제를 격파(?)했는데 한가지 찜찜한게 있네요.
허느님이 첫 댓글에 쓰신 것처럼 4r² -4dr + 4r + d² -1 = 0 만 있더라도 이걸 d에 대한 이차방정식으로 풀면 d을 r에 관한 식으로 나타낼수 있을테니- 그것으로도 답을 낼 수 있어야 하지 않나요? 이걸 실제로 풀어내면 d = 2r ± √(1 - 4r) 이라는 식이 나오는데.. 어째서 이걸로는 답의 모양을 낼 수 없는 걸까요;;? 이것 역시 제가 무언가를 놓치고 있어서 그런거겠지만 아신다면 지적좀 부탁드립니당(_ _
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