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12/08/24 14:27
1. 모순이 아닌 듯합니다. 처음 참가자가 제대로 된 선택지를 골랐을 확률은 1/3, 새로운 참가자가 맞을 확률은 2/3입니다. 몬티홀 문제는 선택지가 100개라고 생각하면 쉽습니다. 100개중에 한개의 문에 자동차가 있다고 하면, 처음 참가자가 100개 중에 하나를 골랐을 때 맞을 확률은 1/100입니다. 그리고 사회자가 문 98개를 엽니다. 당연히 모두 염소가 있습니다. 이 상황이라면 처음 고른 문에 자동차가 있을 확률은 1/100, 다른 잠긴 문에 자동차가 있을 확률은 99/100이 되겠습니다.(1/100의 확률에 열려버린 문인 98개 선택지의 확률이 더해지는 것입니다) 이때 새로운 참가자가 둘 중 하나를 고른다 해도 마찬가지로 확률은 1/100대 99/100이 되겠지요.
2. 마찬가지로, 문이 100개 있고 하나를 고른 뒤에 고르지 않은 문 중 98개를 연다고 하면, 그리고 다시 바꿔 원래 선택지를 고른다 해도 확률은 그대로 1/100대 99/100이 되겠습니다.
12/08/24 14:35
B는 '원래부터 여기에는 두개의 선택지가 있었고 그 중 하나의 선택지가 맞다' 라고만 인식하고 있는 상황을 가정했습니다. 그리고 B의 입장에서 이 개념에는 틀림이 전혀 없구요. 그럼에도 불구하고 이전의 상황변화에 따른 모든 변수가 B에게도 적용된다는 건가요? 응용하면 누군가에게 선택지가 두개인 1/2 확률로 보이는 n-1/n 확률의 문제를 강요할 수 있다는건데... 이해가 잘 안되네요 ㅠㅠ
12/08/24 14:46
네 적용됩니다. "문을 연다"는 것은 가능한 선택지를 제거한다는 것으로 그 일이 일어나는 순간 최초의 확률이 변합니다.
검은 바둑알 2개와 흰색 바둑알 2개가 있는 주머니에서 참가자 A가 특정 색깔의 바둑알을 꺼낼 확률은 50%입니다. 그런데 두 번 손을 집어넣어 바둑알을 빼냈더니 두 개의 흰색알이 나왔습니다. 바둑알 2개가 남은 상황에서 참가자 B가 나와서 주머니에 손을 넣어 바둑알을 꺼낸다면, 흰색 알을 꺼낼 확률은 50%확률이 아닙니다. 0%죠. 만약 A가 흰색돌 한개를 꺼낸 상태에서 B가 참여한다면 흰색알을 꺼낼 확률은 33.3%가 됩니다. B가 주머니 속에 있는 바둑알에 대해 어떤 정보도 없다 해도 이 사실은 변하지 않습니다. KOO님께서는 '같은 문을 골랐을 때'를 가정하셨습니다. 그런데 엄밀히 말하면 같은 문을 고를 확률이 1/2입니다. 그 문에 자동차가 있을 확률은 1/3입니다. 문에 자동차가 있을 확률과 그 문을 고를 확률을 혼동하신 것 같습니다. 몬티홀 문제는 원래 문 안에 자동차가 있을 가능성에 대한 확률이고, 그 문을 고를 확률은 적용되지 않습니다.
12/08/24 14:52
해당 선택지를 고를 확률과 해당 선택지가 옳을 확률이 다른다는것은 이해했습니다. 다만 B에게 본 선택지에 대한 설명을 '여기에는 문이 두개가 있고, 둘 중 하나에는 자동차가, 하나에는 염소가 있다' 라고 했을 경우에, B의 입장에선 하나의 선택지를 고를 확률도 옳은 선택지를 고를 확률도 1/2이 되는게 아닌가요? 아니라면 윗 댓글에서 제가 언급한 '누군가에게 선택지가 두개인 1/2 확률로 보이는 n-1/n 확률의 문제를 강요'하는것도 가능하게 되는건가요?
12/08/24 14:48
100개의 문이라고 가정하고 a가 고르지 않은 99개의 문중 없는문 98개를 열어줬다고 생각해보시면... 나중에 온 b가 아무것도 모른다면 1/2의 확률이네라고 생각할수 있겠지만, 실제로 a가 골랐던 문을 고르는경우와 98개를 열고 남은 문을 열었을때의 확률이 똑같지 않겠죠. 반복하면 반복할수록 98개를 열고 남은 문을 골랐을때 당첨되는경우가 훨씬 많지 않겠어요? 그래서 1/2이라고 보는건 아니라고 생각합니다. 그건 그냥 b의 착각일뿐 아닌가요. 전후사정을 모르고 하는...
12/08/24 15:01
유유히님이랑 넥센님의 댓글로 어느정도 이해 했습니다. 애초에 A가 3가지 선택지중 오답이 아닌 하나를 선택하는데 필요한 확률을 생각하지 못했네요. 감사합니다
1의 상황에서 A=첫 선택에서 오답이 아닌 문을 고를 확률2/3*1/2=1/3 B=1/2 인 것 같은데... 이러면 또 같은 문을 선택했음에도 확률이 다르다는게 이상하고... B가 A와 같은 확률을 가진다면 위에서 말한 사기성 도박이 가능할것같고... 이해가 어렵네요 ㅠㅠ
12/08/24 15:29
뭐라 표현하기 뭐한데, 확률은 어짜피 확률이니까요. 갖고 있는 정보에 따라 확률이 달라집니다.
차후에 누군가가 와서 고른다고 하더라도, 원래의 정보가 바뀌지 않죠. 당연히 확률도 바뀌지 않습니다. 3개의 문이 2개의 문으로 줄어든 후, 사전정보가 없는 사람이 와서 고를경우, 그사람이 50%로 착각하는 것 뿐이고, 원래 있던 사람은 그보다 많은 정보를 바탕으로, 각각 1/3, 2/3이라는 것을 유출해 낼 수 있는 것 뿐입니다. 이유가 뭐가되든간에, 결국 물건은 하나죠. 사회자의 경우 처음부터 문들이 각각 0%, 0%, 100%였습니다. 사회자에게는 그 후 출연자들의 선택에 의해서 그 확률이 변하지 않죠. 정보가 달라지지 않았으니까요.
12/08/24 15:41
새로운 참가자 B가 50%의 확률이라고 가정하는 것은 B의 입장에서의 어쩔 수 없는 선택일 뿐으로, 그 가정이 옳다는 뜻은 아닙니다. 즉, 정보의 부재 때문에 피치 못해 50%를 가정하는 것이며, 그 값은 보다 많은 정보를 알고 있는 사람 입장에서 보면 수정되어야 하는 수치일 수밖에 없습니다.
그 값이 절대적으로 성립하는 것이라면... 예를 들어 가장 가까운 알파센타우루스 성계에 무언가 생물이 있을 가정이 99.999999%를 넘는다는 것을 증명할 수 있습니다. 1. 돌고래가 살고 있는지 없는지 (현재의) 우리로서는 알 수 없다. -> 있을 확률이 50%, 따라서 없을 확률도 50%. 2. 기린이 살고 있는지 알 수 없다. -> 없을 확률이 50% 3. 토끼가 없을 확률 역시 50%, 말이 없을 확률도 50%, 돼지가 없을 확률도 50% ... 4. 우리가 알고 있는 모든 생물이 다 없을 확률 = 50% * 50% * 50% * ... ~= 0% 에 수렴 -> 무엇인지는 몰라도 생물이 있기는 있다. 물론 이 증명은 농담입니다. :) 동일한 선택을 한다고 해도, 그 선택을 하는 순간에 이용가능한 정보가 다르다면, 계산되어지는 확률은 다릅니다. 어떤 의미에서 확률이란 정보를 번역한 것 혹은 정보의 다른 표현으로 볼 수 있습니다. 요약하면, 확률은 그것을 계산하는 순간에 이용할 수 있는 모든 정보에 따라 다시 계산되어져야 하는 것입니다.
12/08/24 15:45
네 완벽하게 이해했습니다. 중고등학교땐 확률문제 참 자신있었는데 가면 갈수록 수학적 능력이 떨어짐을 많이 느끼네요
답변해주신분들 모두 감사드립니다
12/08/24 16:29
1.
선택한 문1과 선택하지 않은 문2로 생각해 보면 선택한 문1의 당첨 확률은 1/3이고, 선택하지 않은 문2의 당첨확률은 2/3입니다. 이 당첨 확률은 경우의 수에서 당첨될 경우의 수로 구한것이기 때문에 새로운 B가 와서 고르더라도 마찬가지로 1/3과 2/3의 확률입니다. B가 당첨될 확률이 1/2라고 할때는 문1을 고를 확률 1/2 * 당첨확률 1/3 + 문2를 고를 확률 1/2 * 당첨확률 2/3 인 경우에 대한 것이고, 문1을 골랐을때의 당첨확률은 1/3, 문2를 골랐을때의 당첨확률은 2/3는 A와 동일합니다. 2. 정확히 어떤 상황을 말하시는건지 모르겠지만 다음 상황을 생각해 보시는게 도움이 될것 같습니다. 문3개중 하나를 선택합니다. 사회자가 선택하지 않은 문중 당첨이 아닌 문을 제거합니다. 문2개중 당첨이 아닌 문을 제거합니다. 남은 문은 100% 당첨입니다. 다만, 남은 문이 A 앞에 있을 확률은 1/3입니다. 다시 문이 한개 남은 상황에서 비어있는 문을 가져다 놓습니다. 이때 A앞에 문이 없다면 A 앞에 놓습니다. 문이 2개 있는 상황에서 A앞에 있는 문이 당첨될 확률은 여전히 1/3입니다. 문이 2개 있는 상황에서 다시 비어있는 문을 가져다 놓습니다. 문이 3개가 되었고, A앞에 있는 문이 당첨될 확률은 1/3입니다.
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