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10/06/29 01:01
제가 조금 햇갈려서 대답은 직접 못하겠는데 참고 서적 추천드릴 게요.
대학교 도사관에 뉴턴잡지 모아둔게 있을텐데요 뉴턴잡자에서 허수에 관한 잡지가 있을거에요. 괜히 어려운 책보다 뉴턴 잡지 보면 양자역학이라든지 허수라든지 하는 좀 잘 안잡히는 개념을 공부하는 많은 도움이 되더라구요.
10/06/29 01:21
제가 아는대로만 대답해보면
다른 심각한? 이유는 모르겠지만 그이유는 계산이 편리해서입니다. 선형대수학을 배우셨을것 같아서 예를들면 선형대수학의 발달과 벡터를 보면 실제 물리학적인 벡터 개념을 수학으로 계산하게 되었고, 물리와 별개로 거기에서 더 수학적으로 추상화 되었습니다. 이게 다시 물리에 적용이 되었습니다. 언젠가 √i 는 뭐지? 라는 생각을 하셨을거라 예상됩니다. 즉 네제곱해서 -1이 되는 수는 왜 정의를 안내렸지? 하는 의문이 생기는데 이것은 복소수의 개념인 a+bi (a,b는 실수)로 표현가능하기 때문에 새롭게 정의를 내릴 필요가 없었습니다. 즉, 버리기엔 아깝다고 생각해서 발달시킨것이 복소함수론입니다.즉,i의 쓰임이죠. 비슷하고 간단한 예로 음함수 양함수 개념이 있습니다. 우리가 알고 있는 x²+y²=1 이 원의 방정식은 함수가 아닙니다. 허나 버리기가 아까워 음함수라고 이름 짓고 연구를 하였죠.
10/06/29 01:29
수학사에 대해서 잘 아는 건 아닙니다만, 그래도 명색이 수학 전공이니 제 개인적인 생각을 써보도록 하겠습니다.
일단 i의 수학적인 측면의 확립은 말씀하신 내용이 맞지 않나 생각합니다. 좀 더 자세히 이야기해보자면 수학의 대수학 분야에서 보면 Fundamental Theorem of Algebra란 게 있습니다. 말 그대로 대수학의 기본이 되는 정리인데요, 이게 무슨 정리냐 하면 간단히 말해서 '모든 방정식은 최소한 하나의 복소근을 가진다'란 겁니다. 쉽게 이야기해서 대수학은 원래 방정식을 풀기 위해서 발전된 이론이라고 보시면 되죠. 모든 방정식의 근이 존재하는 영역이 어디인가를 수학적으로 규명해나간 게 초창기 대수학 이론들이라고 볼 수 있겠습니다. 대략 학부 학생들이 대수학 개론 배우면서 배우는 부분들이죠. 그런데 중학교 때 배운 2차 방정식만 해도 우리가 당시 판별식이네 뭐네 써가면서 '근이 존재하지 않는다' 엄밀히 말하면 '실근이 존재하지 않는다'고 판정한 방정식들이 있었을 겁니다. 실수 영역에선 근이 존재하지 않는 방정식들이 존재하기에 수학자들은 어렴풋이 i의 필요성을 느꼈을 거라고 봅니다. 실수 계수로 구성된 방정식이 실수 영역에서 근이 존재하지 않으니, 실수를 포함하면서 모든 방정식의 근이 존재하는 다른 수 체계를 구축하려 했을 것이고 그 때문에 i가 도입 되고 복소수 체계가 이론적으로 확립이 된 게 아닐까 싶습니다. 그런데 이 i란 녀석은 눈에 보이는 놈이 아닙니다. i의 크기가 어떻게 되는가? 아무도 모르죠. 2i가 3i보다 크단 건 알아도 2가 큰지 3i가 큰지는 알 수 없습니다. 그냥 수 체계의 완성을 위해 도입된 개념이니까요. 실생활에서는 아무런 쓸모도 없고, 어떤 물리적으로 실재하는 값을 가지고 있는 게 아니니 그냥 허상의 개념으로만 보였을 겁니다. 그런데 i는 제곱하면 -1이되는, 즉 i^2=-1이 되는 성질을 가지고 있어서, 이걸 가지고 꽤 재밌는 일들을 할 수 있었다는 겁니다. 단순 2차원 벡터랑 복소수를 그래프 상에서 비교해보면, 2차원 벡터는 X축, Y축의 2차원 평면에서 표현이 가능하고, 복소수는 실수축과 허수축으로 구성된 2차원 평면 위에서 표현할 수 있죠. 예를 들어 AC voltage의 경우 potential과 phase의 두 개의 패러미터로 표현이 되어야 한다고 들었습니다. 이걸 단순 2차원 벡터로 표현할 수도 있겠지만, 복소수 형태로 표현할 수도 있는 거죠. 그렇게 복소수로 어떤 모델을 구성하고 그에 대한 함수를 연구하다보니, 그냥 단순히 R^2 상에서 2차원 벡터로 된 함수를 다루는 것보다 더 해석학적인 측면에서 더 많은 결론들을 내릴 수 있었던 겁니다. 왜냐하면 앞서 이야기했듯이 i에게는 특수한 성질이 있었으니까요. 일반적인 R^2상에서의 해석학적 이론에서 이 i에 대한 가정을 추가하니 더 많은 부분들이 명확해졌던 겁니다. 그래서 복소 해석학이라는 툴이 생겨난 거겠죠. 그리고 다른 학문 분야에서 그 툴을 적용하기 시작한 거라고 봅니다. 결론적으로 i란 값이 물리적으로 실존하는 값이어서가 아니라, 두 개의 패러미터를 가진 변수를 복소수 형태로 표현해서 복소해석학이라는 툴을 이용하면 많은 문제들이 풀리기 때문에 다른 학문에서도 i 개념을 도입한 거라고 저는 생각합니다.
10/06/29 02:01
전자과신거 같은데..
제가 후배들한테 항상 하던 말이 있습니다. '왜' 그렇지 라고 의문을 갖지 말고, 그냥 받아들여 받아들이라는 것은 닥치고 외우라는 것은 아닙니다. 의문을 갖는것은 좋은것이지만, 풀이과정에 대한 의문을 깊게 가지다 보면 결국 수학적 공리에 까지 의문을 가지게 되면서 혼돈만 더 커집니다. 기초물리학 혹은 수학에 대한 공부를 하는 것이 아니라, 풀이를 하는 과정이라면, 그냥 받아들이고 익숙해 지는게 좋습니다.
10/06/29 02:02
에텔레로사님 께서 많은 부분을 설명해주셨는데요.
한가지 오류가 있는 부분이 있어서 댓글을 답니다. 리플 중간에 "2i가 3i보다 크단 건 알아도 2가 큰지 3i가 큰지는 알 수 없습니다." 라는 말이 있는데요 2와 3i는 물론이거나와 2i와 3i 또한 대소비교가 불가능 합니다. i 와 1-2i 마찬가지로 비교 불가능합니다. 다시말해 복소수체계에서는 두 복소수간의 대소비교는 불가능합니다.(복소수의 절대값은 실수값이므로 비교가능합니다.) 실수에서 복소수로 확장하면서 i라는 새로운 수를 얻는 대신 실수의 특징 중 하나인 순서 공리(a,b두실수는 a>b,a=b,a<b중 하나를 반드시만족한다.)를 포기하게 된다고 생각하시면 됩니다.
10/06/29 03:10
좀더 덧붙이자면,
많은 물리 및 화학에서 쓰이는 함수 중에 파동함수 같은 류는 거의 다 i를 사용합니다. e^ix 이런 꼴 많이 보셨겠죠. 오일러가 처음 정의를 내리고 이것을 다른 수학 분야와 엮어내는 데 성공하면서 본격적으로 복소해석학의 길이 열린 겁니다. cosx나 sinx를 사용하게 되면 계산이 상당히 불편해집니다. 당장 라플라스 변환을 사용한 ODE 정도만 되어도 머리가 터지기 일보 직전까지 가기 딱 좋죠. 그러한 계산을 쉽게 하기 위해서 오일러의 발견 - e^ix - 을 여기저기서 사용하게 되었고, 그것이 결국 물리나 화학에까지 허수가 퍼져버린 원인이기도 합니다. 특히나 푸리에 해석이나 PDE 등을 풀 때 계수를 쉽게 만들기 위한 작업으로 일차적으로 e^ix를 쓰는 일이 많습니다.
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