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06/12/06 12:12
부연설명(?)을 위해 전 게시물에 있는 댓글을 가져옵니다.
여자친구랑 실험결과 아주 간단히 증명되었습니다. A, B, C 이렇게 방 3개가 있을때 편의상 A에 차가 들어있다고 가정하죠. A 를 처음 선택한 경우 B와 C 둘다 차가 들어있지 않으니 둘 방중 아무거나 열어서 보여줍니다. 그리고 A를 선택했던 사람이 바꾼다면 B나 C 옮기고 어떤 선택을 하던지 결과는 "꽝"이 될 수 밖에 없습니다. B를 선택한 경우 A에는 차가 들어있으니 사회자는 C방문을 열어서 보여줍니다. 선택자가 바꿀 경우 A로만 바꿀 수 있기 때문에(C방에는 없는게 확인되었으므로) "당첨"입니다. C를 선택한 경우 A에는 차가 들어있으니 사회자는 B방문을 열어서 보여줍니다. 선택자가 바꿀 경우 A로만 바꿀 수 있기 때문에(B방에는 없는게 확인되었으므로) "당첨"입니다. 결론: 마지막에 선택을 바꾼다고 했을 경우 제일 처음 A,B,C 중에 차가 들어있는 방을 선택했다면 "꽝"이 될 수 밖에 없고 차가 들어있지 않은 방을 선택했다면 무조건 "당첨"이 됩니다. 다시 처음으로 돌아가 맨 처음 옳은 방을 선택할 확률은 1/3이고 잘못된 방을 선택할 확률은 2/3 이기 때문에 바꾸는 것이 현명합니다.
06/12/06 12:18
더 쉽게 풀자면, 분명 하나를 지운 상태에서 둘중 하나를 선택하는 부분의 확률은 1/2가 맞습니다. 그러나
1.내가 선택한게 - (ㄱ)이 - 정답일 경우 하나를 지워주는 선택지는 ㄱ,ㄴ이 남을때와 ㄱ,ㄷ이 남을때 두가지인 반면 내가 선택한 것이 오답일 경우 하나를 지워주는 선택지는 2.ㄴ이 정답인 ㄱ,ㄴ 딱 하나 3.ㄷ이 정답인 ㄱ,ㄷ 딱 하나입니다. 세 가지 분류에서의 경우의 수 불균형을 생각하시면 왜 1/2가 아닌지가 나옵니다.
06/12/06 13:53
답은 1/2 맞습니다.
선택할 확률이 1/3인 것은 제일 첨 선택하는 순간 그 상황 뿐이었습니다. 사회자가 꽝인 문을 하나 짚어주고 다시 선택하는 순간이 왔을 때 이미 이전의 선택 확률은 현재의 선택 확률에 영향을 미치지 못하게 되죠. 결국 두개의 문중에 하나를 선택하는 상황이고, 답은 1/2가 되죠.
06/12/06 14:09
몬티홀 문제는 해석이 중요합니다. 이 문제의 중점은 내가 고른 것의 당첨확률(1)이 아니라,
결정 여부에 따른 당첨확률(2)의 문제입니다. (1)의 경우로 문제를 단순화 해보겠습니다. 2개의 꽝과 1개의 당첨카드가 있다. 이 중 어느 하나를 골랐다. 이때의 당첨확률 : 1/3 사회자가 꽝인 1개의 카드를 제거했다. 이 중 어느 하나를 골랐다. 이때의 당첨확률 : 1/2 (1)의 경우 선택한 것의 당첨확률만 고려했기 때문에 당첨확률은 50%입니다. 어떤 것을 고를 확률도 반반, 결정을 바꿀지 아닐지의 확률도 반반이기 때문에 결정 여부에 상관없이 당첨확률은 1/2입니다. 어떤분들의 독립의 법칙으로 이것을 설명하기도 합니다. 하지만 엄밀히 말하면 어떤 경우에도 확률이 반반이기 때문에 이것들의 연속의 확률은 어떤 경우의 수든 같은 확률이 되는 것입니다. (2)의 경우는 결정 여부에 따른 당첨 확률입니다. 가장 쉬운 방법은 모든 경우의 수에 따른 확률을 각각 따지는 방법입니다. (검토방법은 모든 경우의 수의 확률 합이 1) ㄱ) 결정을 바꾸었을 때 당첨될 확률 (=처음에 꽝을 고를 확률x결정 선택 확률) : 1/3 cf. 사회자가 꽝인 1개를 제거한다는 조건이 있으므로 처음에 꽝을 골라야 바꿨을 때 당 첨(확률 2/3)이 됩니다. 여기에 결정을 바꿀 확률(1/2)를 곱해 줍니다. ㄴ) 결정을 바꾸었을 때 꽝일 확률 (=처음에 담첨될 확률x결정 선택 확률) : 1/6 ㄷ) 결정을 안 바꾸었을 때 당첨될 확률 (=처음에 담청될 확률x결정 선택 확률) : 1/6 ㄹ) 결정을 안 바꾸었을 때 꽝일 확률 (=처음에 꽝일 확률x결정 선택 확률) : 1/3 고로, 당첨될 확률은 결정을 바꿨을 때(1/3)가 안바꾸었을 때(1/6)보다 확률적으로 높습니다. (뱀발) 많은 분들이 당첨확률 2/3이라고 하십니다. 엄밀히 말하면 2/3는 당첨되었다는 명제가 있어야 합니다. 당첨되었을 경우, 결정을 바꾸었을 확률 : 2/3 당첨되었을 경우, 결정을 안 바꾸었을 확률 : 1/3일 것입니다. 물론 당첨되었을 경우로 단순화 시키면 더 쉽죠. 하지만 이 말을 생략한다면 많을 사람들이 어려워 하겠죠? ^^;
06/12/06 15:44
저도 잠자다가 이해했어요 사회자는 무조건 꽝인 문을 열기 때문에 바꾸는 경우가 당첨될 확률이 높아지게 되죠. 문제에 대한 이해가 중요
06/12/06 19:09
같은 문제를 문 100 개 짜리에서 풀면???
꽝일 확률이 99/100 이고 당첨일 확률이 1/100이므로 바꾸는 게 99/100의 확률로 좋다????? 유머 게시판이라 유머인지 진심인지 헷갈리네요.
06/12/06 19:27
사이몬님PHD님
문3개일경우는 꽝을 골랐을대 사회자가 꽝하나를 알려주면 바꿨을때 무조건 당첨이되지만.. 문이 99개라면 사회자가 꽝하나를 알려주더라도 100%당첨되지않죠.. 그래서 님이 말하신전제조건으론 제 풀이방식이 성립하지않습니다.
06/12/06 20:47
우라질놈님//님이 제시하신 이유가 일반적인 것이 아니라는 점을 지적하는 겁니다. 문 3개인 경우 우연히 확률이 같아집니다만 (위에 무적군자검님이 지적하신 대로...) 문 100개에서 1개를 지워주는 경우나 또는 100개에서 98개를 지워주는 경우나 몬티홀 문제는 항상 바꾸는 것이 확률적으로 유리한 선택입니다. (유리한 정도의 차이만 존재할 뿐)
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