자연수와 짝수 중 누가 더 원소의 개수가 많을까요? 일단 저 같은 수포자들이 보기에는 자연수가 더 많은 것 같습니다. 왜냐하면 자연수는

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...

이렇게 진행이 되는데 짝수는 이러한 자연수의 배열에서 하나 건너 하나씩 나타나기 때문입니다. 따라서 짝수의 개수는 잘해봐야 자연수 개수의 절반 정도인 것 같습니다. 즉, 보기에 [자연수 개수 = 짝수의 개수 + 홀수의 개수]인 것 같은 거지요.



음...여기서만 보면 자연수의 개수는 18개, 짝수의 개수는 9개...이건 뭐 자연수의 일방적 승리로구만...--;;


하지만 정말 그럴까요?

어떤 두 집합의 원소의 개수가 같다는 것은 그 두 집합의 원소들을 하나씩 서로 1대1로 대응시켰을 때 어느 쪽이든 대응되지 않고 남는 원소들이 없을 때를 말합니다.






위의 이미지에서처럼 개와 튤립의 집합의 원소들이 모두 1대1로 대응이 되고 어느 쪽도 남는 원소들이 없으므로 개들의 개수와 튤립들의 개수는 같다고 할 수 있습니다.

따라서 전혀 그럴 것 같지 않지만 만약 짝수에 해당하는 모든 수들과 자연수에 해당하는 모든 수를 1대1로 대응시킬 수만 있다면, 그리고 어느 쪽도 남거나 부족한 원소가 발생하지 않는 다면 이 두 집합의 원소의 개수는 같다고 봐야하겠지요.



뭐지?...속고 있는 듯한 이 기분은?...--;;


그래서 위처럼 대응시켜 보니까 어처구니가 없을 만큼 양쪽은 1대1 대응이 잘 이루어집니다. 짝수든 자연수는 원소들의 개수는 무한하므로 이 1대1 대응은 계속해서 끊어지지 않고 이루어 질 것입니다. 따라서 결론적으로 우리는 짝수의 개수와 자연수의 개수는 같다고 볼 수 있는 것이지요.

자, 그렇다면 이제 두 번째 경우를 생각해 봅시다. 분수와 자연수의 집합 가운데 어느 쪽이 원소의 개수가 더 많을까요? 얼핏 생각하기에는 분수가 더 많을 것 같습니다. 하지만 정확하게 알려면 역시 앞에서의 경우처럼 이것도 양쪽의 원소들을 모두 1대1로 대응시켜봐야 하겠죠. 자연수의 원소들은 그냥 1부터 하나씩 큰 숫자순으로 쭉 배열하면 되니까 상관이 없는데 문제는 분수 집합의 원소들을 어떻게 하나도 빠짐없이 배열할 것인가 하는 겁니다.

그런데 여기에도 기발한 방법이 있다고 합니다.





우선 분수들을 위의 이미지처럼 격자 형태로 배열합니다. 이렇게 배열하면 여러분들이 찾고자 하는 분수를 쉽게(!) 찾을 수 있습니다.

만약 "243분의 117"을 찾고 싶으면...





우선 117번째 열로 내려간 다음...





243번째 행을 찾아가면 되는 것이지요.





그런데 이렇게 만들어 놓은 것은 완전한 분수의 집합이 아닙니다. 서로 겹치는 놈들이 많이 있거든요.





위의 격자를 다시 봅시다. 예를 들어 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대각선 방향으로 내려가면 "1/1, 2/2, 3/3, 4/4,..."은 모두 같은 값 (=1)입니다. 이런 놈들은 하나만 취해야 되지요. 그렇다면 이 격자에서 어떻게 값이 서로 다른 분수들만 취할 것인가?





바로 위처럼 1/1부터 대각선 방향으로 진행하면서 앞에서 나온 것들과 같은 값의 분수들은 건너뛰고 그렇지 않은 놈들만 원소로서 취하면 된다고 합니다. 위 이미지에서 보면 2/2는 이미 앞에서 선택한 1/1과 같은 값이기 때문에 채택되지 않았습니다.





같은 방식으로 계속 진행합니다...이렇게 하면 값이 같지 않은 모둔 분수들을 뽑아낼 수 있다고 합니다...

이런 방법을 처음으로 생각해 낸 사람이 독일의 수학자 게오르크 칸토어라고 하네요.





이렇게 해서 뽑은 모둔 분수 집합의 원소들을 자연수 집합의 원소들과 1대1 대응시켜 보면...





이것 역시 위처럼 1대1로 대응이 된다고 합니다.

그렇다면 자연수 집합과 분수 집합의 크기는 같은 것이 되는 겁니다.
(자, 그렇다면 이제 자연수와 소수를 비교해 볼까?...--;;)


우리가 막연히 직관적으로 그럴 것 같은데? 라고 생각하는 것들이 실제로 대조를 해보면 그렇지 않은 경우들이 종종 있는데 위의 두 가지도 역시 그런 것 같습니다.

역시 수학은 종이 위에다가 직접 풀어봐야 되는 것 같습니다...--;;



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