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11/04/22 01:02
쉽게 말하면 S의 동치류 원소와 T에서 동치류 원소를 일대일 대응시킬 수 있습니다.
T에서의 동치류는 S에서의 동치류를 위의 정의를 통해서 만들 수 있습니다.
11/04/22 01:10
위에 전사함수란 말이 빠진거 같은데
f가 전사함수라 가정하면 함수 g: S/~ --> T 를 g([a])=f(a) 라 하면 g 는 일대일 대응 함수가 됩니다. 한번 해보시길 바랍니다. 님께서 일대일 대응이 존재한다는 것이 의아하다고 생각하시는 이유는 아마 동치류의 집합이 어떠한 형태인가를 잘몰라서 그러실수 있는데 동치류의 집합은 집합 S의 분할(partition)이 된다는 사실을 상기하면 이해하기 쉬울듯 합니다.
11/04/22 01:22
[Assumption] f : S->T is a surjective map.
Let [x] denote the equivalence class containing x, for each element x in S. Let E = [x] | x in S . Note that [x] = [y] if and only if f(x) = f(y).
We give a one-to-one correspondence phi : E -> T as phi([x]) = f(x). This map is well-defined since if [x] = [y] then f(x) = f(y). phi is injective because phi([x]) = phi([y]) => f(x) = f(y) => [x] = [y]. phi is surjective because for any t in T, there exists s in S such that t = f(s), and thus phi([s]) = f(s) = t. Therefore phi is a bijection between E and T. QED.
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