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통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2023/08/25 12:18:36
Name 저글링쫓는프로브
File #1 미방1.jpg (9.3 KB), Download : 12
File #2 미장2.jpg (86.1 KB), Download : 1
Subject [질문] 미분방정식 - 미분 역연산자 질문




안녕하세요? 취미로 수학 공부중인 그냥 직장인입니다. 지금 공업수학쪽을 보고 있습니다.
상수계수 상미분방정식의 특수해를 구할 때 우변 r(x) 형태에 따라서 쓰는 미정계수법, Wronskian을 이용한 매개변수 변환법은 이해를 했습니다.
그런데 첨부파일 그림처럼 미분역연산자를 이용한 방법도 있는것 같은데 이건 원리가 이해가 안 되네요..
미분연산자를 D로 두고 f(D)y = R(x) 꼴로 둔 다음에 y = R(x) / f(D) 로 놓고 f(D)를 무한급수 전개로 바꾼다든지 아님 f(D)에 특정 수를 대입하든지 하는 것 같은데...
이런 방법의 수학적 근거?는 구글링해도 찾기가 어려워서요. 혹시 교양수준에서 참고할 만한 글이 있을까요? 크레이직 교과서에서는 해당 내용이 잘 안 나와있네요.
감사합니다.

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낚시꾼
23/08/25 12:41
수정 아이콘
무한급수 전개 그런거는 아니고 f(D)exp(ax)=f(a)exp(ax) 이용하는 거에요
저글링쫓는프로브
23/08/25 12:52
수정 아이콘
r(x) = exp(ax)일 때는 f(D) 에 a 대입해서 exp(ax) / f(a) 로 계산하고
r(x)가 Ax^2+Bx+C 같은 다항식일 땐 1/f(D) 를 1 / (1 + 2D + 5D^2) = 1 - 2D -5D^2 + (2D +5 D^2)^2 - ... 처럼 무한급수 합공식으로 바꿔서 r(x)가 미분해서 0될때까지 미분연산자를 적용해서 답을 구하길래 저렇게 적었습니다.
낚시꾼
23/08/25 13:35
수정 아이콘
아 그런의미면
g(x)/f(D)=y
일때 f(D)y=g(x)이고
f(D)=a-Dh(D) 꼴일때 D^n y=0을 만족시키면
양변에 (a^(n-1)+a^(n-2)Dh(D)+....(Dh(D))^(n-1)) 연산 추가해줘서
(a^(n-1)+a^(n-2)Dh(D)+....(Dh(D))^(n-1))f(D)y= (a^n-(Dh(D))^n)y=a^ny=
(a^(n-1)+a^(n-2)Dh(D)+....(Dh(D))^(n-1))g(x)

이런 식입니다.
저글링쫓는프로브
23/08/25 14:22
수정 아이콘
감사합니다. 혹시 위 공식들을 유도하는 교과서나 참고문헌이 있을까요?
낚시꾼
23/08/25 18:55
수정 아이콘
원서로 공부했던거 같은데 오래전이라 기억이 잘 안나네요..
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