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통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2023/05/12 15:30:29
Name 진소한
Subject [질문] 포물선과 미분을 이용한 최소값 관련 문제 질문입니다.
포물선 y^2=4px 내부의 한 점 R의 좌표를 (a, b)라 할 때, 점R에서 포물선 상의 한 점 P와까지의 거리와 점P에서 초점F(p, 0)까지의 거리의 합이 최소값을 갖게 하는 점P는 점 R을 지나고 포물선의 축과 평행한 직선을 지남을 보여라.

원문은 Calculus: An Intuitive and Physical Approach의 Chapter 8 section 5 연습문제 11입니다.
Given a point R with coordinates (a, b) in the interior of the parabola y^2=4px, show that the shortest path from R to a point P of the parabola and from P to the focus (p, 0) is the one determined by the point P which lies on the line through R parallel to the axis.( If we recall that light from the focus after reflection at the parabola goes out parallel to the axis, this problem shows that light takes the shortest path and, because it travels in one medium, it takes the least time.)

포물선의 한 점 P를 (x, y)라 하고 경로를 D라 한 뒤  D를 미분하면 (y-b)를 공통인수를 한 식이 나오고 따라서 y=b가 D의 미분을 0으로 만드는 해 입니다. 이 극값으로 이후에 어떻게 수학적으로 엄밀하게 최소값인지 보이는 방법을 모르겠습니다.

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Mattia Binotto
23/05/12 16:05
수정 아이콘
그냥 고등학교 식으로 PF의 길이가 P에서 준선 x=-p까지의 거리와 같다는 포물선의 정의를 이용해서 거리 D를 다시 쓰고 그의 최소값이 직선임을 보이는게 훨씬 쉬울 것 같은뎁쇼...
진소한
23/05/12 16:31
수정 아이콘
(수정됨) 기하학적으로는 포물선의 특성과 최단거리가 직선인걸 이용하는 것이 훨씬 간편한데 단지 문제의 의도가 미분으로 극값을 구한 뒤 최소값을 찾는 것이라서요.
원래 D를 구할 때 제곱근{(x-p)^+y^2}이 P와 초점F간의 거리인데 y^2=4px를 대입하고 풀면 어차피 p+x라 준선과 점P와의 거리와 같습니다.
메피스토
23/05/12 16:43
수정 아이콘
(수정됨) y=b면 dD/DX=0인 값이어야 하고
1+(x-a) / sqrt((x-a)^2) = dD / dx 뭐 이렇게 될텐데
분모쪽 x-a가 루트가 풀리면서 절대값이 되면 dD/DX=1+(x-a)/절대값(x-a) -> 에서 분모는 양수인거죠 절대값이니
분자는 x가 a보다 무조건 왼쪽에 놓여야 하니 무조건 음수 -> 이유가 맞나 모르겠는데 아무튼 분자가 음수여야 문제가 성립. 아무튼 분자 음수인 이유 아무거나 댐.
dD/DX=1+(-1)=0
진소한
23/05/12 17:09
수정 아이콘
(수정됨) 한미디로 y=b이고 x<a 이어야 dD/dx가 0인데 미분값이 0인 것이 최소값을 보장하는 것이 아니라서요.
이게 식이 복잡해서 짧은 미분실력 때문에 여기서 막힙니다.
메피스토
23/05/12 19:10
수정 아이콘
(수정됨) 보장 안한다고 생각하시는 이유를 전 오히려 모르겠네요.

미분값이 0이란 뜻은 부호가 그 점에서 바뀐다는 뜻인데, 그 점이 최대가 되고 최소가 된다는 것은 증명 대상이 아니에요. 미분을 배우는 시점에선 그 것의 증명을 받아들이는 것이라서 정의를 재증명하는건 의미가 없을 걸요. 잘 해 봤자 정의를 유도하는 걸 배우는 거고 그게 맞다고 치고 하는거지.

초등학생들이 1+1이 2라는걸 배운다고 1+1이 2라는 걸 증명하진 않잖아요. 파이가 뭔진 몰라도 무리수인것도 그냥 받아들이고 거기에 지름을 곱하면 뭐가 나오고 반지름 제곱을 하면 뭐가 나오고 그걸 배우는 단계에선 그냥 그게 맞다고 치고 넘어가는 것 처럼요.
이 관점이 궁금하신건지

아니면 저 문제 자체에서 y=b인 점이 미분값이 0인 건 알겠고, 그러니 부호가 바뀌는 점인건 알겠는데 왜 최소값인지 개념적으로 이해가 안된다고 하시면 y=b일때의 근처 노가다로 하시던, 수치해석 프로그램을 이용하시던 해서 그래프로 그려보시면 되지 않을까요.
그래프 대충 머리로 한번 그려보고 그럼 대충 이런모양이 나오니까 미분값이 0이면 최소겠네 <- 이게 불편하실 순 있겠는데 그 단순화가 미분 자체의 쓸모인걸요..

y=b까지 구하신거면 미분 엄청 잘하시는건데...
진소한
23/05/12 21:14
수정 아이콘
변곡점처럼 일차미분해서 0 이 된다고 해도 극값이 아닌 경우도 있고요. 제가 아는 지식은 f'(x)가 f'(a)=0 일 때 x=a의 좌우에서 f'(x)의 부호에 따른 극대 극소 판정법이랑, f''(a)의 부호로 판정하는 법만 아는데 이문제에선 y=b, x<0 이라는 dD/dx=0 의 해를 가지고 미분관련 지식으로 무언가 해결하는 방법이 있는지 알고 싶은건데요.
사실 기하학적으로만 하려면 맨처음 답변해주신 분 말대로 점R과 준선까지의 직선을 만드는 점P를 구하는 걸로 생각하면 너무 쉽죠.
에이치블루
23/05/13 10:25
수정 아이콘
포물선의 경우 3차식이 아니고 2차식이라 일차미분으로 0이 되면 최대/최소 중 하나임이 보장됩니다...
진소한
23/05/13 11:25
수정 아이콘
포물선 안에 있는 점 R(a, b)과 포물선 y^2=4px 상의 점 P(x, y)와의 거리 + 점 P와 초점(p, 0) 사이의 거리 D는
sqrt{x-p)^2 + y^2} + sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} 으로 2차식이 아니라 무리식이고 이를 다시 x에 관하여 미분한
dD/dx는 분모에 무리식이 있습니다.
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