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통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2019/09/17 21:35:24
Name StondColdSaidSo
Subject [질문] 수학 고1 부등식 한문제 부탁드립니다.
문제입니다

양수 a b c 에 대하여
ab+bc+ca = 27 일 때 a+b+c의 최솟값을 구하는 문제입니다.

직관적으로 a=b=c일때 최솟값을 갖는다는건 알 것 같은데

그 이유에 대해서 어찌 얘기할 수 있을까요?

고1 과정인 산술기하평균이나 코시슈바르츠 등으로 풀이해야 합니다.

능력자분들 도와주세요~!

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19/09/17 21:43
수정 아이콘
(a+b+c)^2 을 전개해보면 ab+bc+ca가 상수이므로 a^2+b^2+c^2이 최소일때 a+b+c 가 최소임을 알 수 있습니다.
이때 코시슈바르츠를
(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)>=(ab+bc+ca)^2
으로 적용하면 a^2+b^2+c^2 가 최소일때, 즉 등호조건 성립조건은 a/b=b/c=c/a
a=b=c 일때 최소가 되겠네요.
Icosahedron
19/09/17 21:45
수정 아이콘
by 코시-슈바르츠 부등식
(a^2+b^2+c^2)^2 = (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2) ≥ (ab+bc+ca)^2 = 27^2
a^2+b^2+c^2≥27 (등호는 a=b=c=3일 때 성립)

(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+bc+ca) ≥ 27 + 2 × 27 = 81
a+b+c ≥ 9 (등호는 a=b=c=3일 때 성립)

지금 생각나는 건 이 정도입니다.
StondColdSaidSo
19/09/17 22:06
수정 아이콘
감사합니다 !! 두분 다 큰 도움이 되었습니다
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