|
:: 게시판
:: 이전 게시판
|
- PGR21 관련된 질문 및 건의는 [건의 게시판]을 이용바랍니다.
- (2013년 3월 이전) 오래된 질문글은 [이전 질문 게시판]에 있습니다. 통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
통합규정 1.3 이용안내 인용"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
17/11/22 17:39
상황 1에 대한 이해를 획득하는 돈의 가치로만 파악하면 어떨까요?
상황1이나 상황2나 1.5N(N=더 적은 봉투에 들어있는 돈)의 기대값을 가진다고 보면 상황1과 2의 차이는 N값을 아냐 모르냐밖에 되지 않으므로 위나 아래나 똑같을거같습니다.
17/11/22 17:42
x 를 금액으로 두었을 때
x/2 이거나 2x 이므로 x/2만큼 손해거나(-x/2) x 만큼 이득이라고 보면 평균적으로는 x/4 만큼 이득이니 1,2 상황이 똑같은거 아닌가요?
17/11/22 17:51
큰 것 선택(1/2) -> 바꿈(1/2) : 손해 -x/2 or 큰 것 선택(1/2) -> 안바꿈(1/2) : 이득 x
작은 것 선택(1/2) -> 바꿈(1/2) : 이득 x or 작은 것 선택(1/2) -> 안바꿈(1/2) : 손해 -x/2 이렇게 해서 4가지 경우가 있고 각 상황의 확률이 1/4 이니 1/4*(-x/2+x+x-x/2) 했는데 맞는지는 모르겠네요 크크
17/11/22 17:58
네 저도 그렇게 계산해서 이득이라는 결론이 나왔는데 이게 뭔가 직관적으로 이해가 안되서요. 크크;
이렇게 계산이 되면 봉투를 계속 바꾸면 계속 이득인가? 싶기도 하고요...
17/11/22 18:02
계속 바꾸면 평균을 낼때 선택한 횟수가 커지니 경우의 수가 많아지고 앞에
1/4이 아닌 더 낮은 분모를 가진 수가 붙다가 어느 수준에서 수렴하지 않을까싶네요.
17/11/22 17:50
프로그램 만들어서 돌려봤더니 바꾸는쪽이 안바꾸는쪽보다 25% 더 가져가도록 수렴하네요.
바꾸는게 25% 이득이라고 봐도 좋을것 같습니다. Arya Stark 님이 정확하게 계산하신것 같네요.
17/11/22 17:57
"2배" 라는 특수성 때문에 이득이 되는 거라고 이해를 하면 될까요?
절대값으로 놓고 보면 바꾸나 안바꾸나 똑같은거 같은데, 2배라고 하니 윗분들 말대로 바꾸면 무한 이득이 되어 버리네요. 상황2) 에서 제가 이상하게 여겼던 점이 계속 무한히 봉투를 바꾸면 계속 X/4 만큼 이득이 되어버리는 식이 되어서....
17/11/22 17:58
이미 해당정보를 알고 있는 상태에서 고르면 똑같고
고른상태에서 뒤늦게 해당정보를 얻게 되면 바꾸는게 이득같.... 은게 아니라 이게 뭔소리야
17/11/22 18:04
문제가 틀렸습니다.
50-100일 확률 : 100-200일 확률이 몇 퍼센트인지를 조정할 수 있는 상황에서, Q1)의 답이 이 확률에 따라 달라집니다. "이 봉투가 2배 봉투냐, 1배 봉투냐" = "50% : 50%" 라고 가정하고 제시한 문제 같은데, 이 가정이 없습니다. 이 가정을 하지 않은 채로 확률의 마법을 보여주겠답시고 낸 문제라면 그냥 말장난입니다.
17/11/22 18:06
그럼 서로 반반이라고 가정을 하면 어떻게 될까요? 다들 그렇게 계산하신거 같은데..
Arya Stark님의 해석이 맞는 것 같긴 하네요.
17/11/22 18:08
문제를 바꾸면 됩니다. "한 쪽에는 100만원이 놓여져 있고, 한 쪽에는 50만원 또는 200만원이 놓여져 있습니다. 100만원을 고르겠습니까? 50만원 혹은 200만원을 고르겠습니까?" 기대값은 당연히 후자가 높습니다.
뒤 문제는 바꾸나 안 바꾸나 차이가 없을 것입니다.
17/11/22 18:04
전에 책에 비슷한 내용을 본것 같은데
100만원이라 치면 반대쪽 봉투가 50만원일 확률이 200만원일 확률보다 높으니 (준비하는 사람입장에서 돈이 2배로 드니...) 공정하지가 않다는 말도 있더라구요
17/11/22 18:20
1의 경우는 100만원과 125만원 중 100만원을 택한 상황이니 무조건 바꾸는 게 나은 반면,
2의 경우는 내가 100만원을 골랐는지 125만원을 골랐는지 알 수 없으니 차이가 없습니다. 1/2 * 2가 1이다보니 두 개가 동급으로 보이지만 사실 (1/2 + 2)/2 라서 처음부터 기대값이 다른 눈속임 같습니다.
17/11/22 18:21
저도 전에 책에서 이 문제를 읽고 한참 생각했었고, 심지어 통계학 가르치는 교수님에게 조차 질문해봤는데도 명확한 해답은 얻지 못했었는데요. 문제를 다시 정확하게 설명을 드리자면
1) A, B 두개의 봉투가 있고 각각의 봉투안의 금액은 어느 한쪽이 다른 한쪽의 2배이다. (예를 들어서 1000원, 2000원) 이 상황에서 당신이 A 봉투를 가지고 있다. B 봉투와 바꿀 것인가? 답은 물론 바꾸던 안 바꾸던 상관이 없다 입니다. 2) 이번에는 당신이 가진 A 봉투를 열어서 안의 금액을 확인해봤습니다. 그리고 B 봉투와 바꿀 기회를 준다면 바꾸는게 나은가? 답은 "그렇다" 입니다. A 봉투안의 값이 X 라면 B 봉투안의 기대값은 (2X * 50% + 0.5X * 50%) = 1.25 X 이기 때문에 A 봉투 안의 금액이 얼마이든지 간에 상관없이 B 봉투로 바꾸는 것이 이득입니다. 3) 이제 부터가 진짜 문제입니다. 위의 (1)번 상황과 (2)번 상황은 사실상 동일한 상황인데 왜 답이 달라지는가? (1)번 상황과 (2)번 상황의 차이점은 A 봉투 안의 금액을 확인했다는 것 뿐인데 어차피 금액이 얼마이든지 간에 상관없기 때문에 봉투안의 금액이 얼마인지를 확인하는 행동이 나의 이익판단에는 어떤 영향도 미칠 수가 없죠. 그런데도 (1)번 상황과 (2)번 상황일 때 왜 답이 달라지는 것일까요? 위의 (3)번 문항이 진짜 문제입니다.
17/11/22 18:26
네, 제 질문의 의도를 정확히 설명 해 주셨습니다.
그래서 결국엔 1번이나 2번의 해답이 틀린게 아닐까? 의심하게 된거죠.. 답이 뭘까요. ㅜㅜ
17/11/22 19:26
(1) 번 상황의 경우 "바꾸든 안 바꾸든 동일하다" 가 정답입니다. 그냥 상식적으로 생각해봐도 너무 당연한 답입니다. A, B 두개 봉투에 어떤 식으로 금액이 들어있든지 여부와 상관없이 어차피 두개 봉투 내부 금액을 모르는 이상 A, B 에 아무런 차이가 없죠.
17/11/22 19:30
예 말씀하신 게 맞아요. 그런데 그 이야기를 좀 더 파고들어가보면 이렇게 물어볼 수도 있거든요.
"봉투안의 금액을 확인 한 순간 기대값이 바뀐다고? 봉투안의 금액을 확인한다는 게 무슨 의미가 있냐? 예를 들어서 봉투안의 금액을 확인한 후에 금액에 따라서 내 최선의 행동이 바뀐다면(예를 들어서 1000원 이상이면 바꾸고 1000원 이하면 바꾸지 않는다든지) 금액을 확인한다는 것이 의미가 있을 것이다. 그런데 어차피 봉투안의 금액이 1원이든 1억이든 어떤 금액이든지간에 상관없이 최선의 행동은 항상 동일하지 않냐? 그럼 봉투를 열어서 금액을 확인하는 게 무슨 의미가 있냐? 그냥 안 열어보나 열어보나 똑같은 거 아니냐? " 그리고 위의 질문에 제대로 대답하기가 좀 어려운거 같아요.
17/11/22 18:46
바꿨을때 이득을 볼 확률은 1번이나 2번이나 같은거 아닌가요?
1번에서 바꿔도 상관이 없다라는 대답은 둘 중에 하나를 선택만 했을 때 50%가 되는거고 [선택만] 할때의 확률이랑 [선택하고 바꿨을때] 이득을 볼 확률은 완전히 다른 얘기같은데요 하나를 선택하고 그 봉투안에 x원이 있다고 가정하고 계산하면 바꿨을때 기대값은 똑같겠죠
17/11/22 19:33
(1)번 상황도 봉투를 바꿀 기회를 주는 거고 실제로 바꿀 기회를 주든 안 주든 어차피 답은 같아요.
(1)번 상황의 경우 "봉투를 바꾸든 말든 이익에는 변화가 없다"가 답입니다. (2)번 상황의 경우 "봉투를 바꾸는 것이 25% 이득이다"가 답이에요. 그런데 진짜 문제는 (1)번과 (2)번은 사실상 동일한 상황이나 마찬가지이기 때문에 두 상황에서 답이 같아야만 되요. 그런데 막상 하나씩 생각해보면 답이 다르거든요. 그게 진자 문제인거죠.
17/11/22 19:38
(1)번 상황에서 봉투를 바꿔서 이익에 변화가 없는건 결과론적인 얘기죠. 바꾼 봉투가 액수가 큰 봉투인지 아닌지 모르는데 왜 차이가 없나요
핵심은 첫번째 봉투를 집었을 때 이 봉투가 큰 액수인지, 작은 액수인지를 모른다는건데 바꾸나 안바꾸나 똑같다는건 실제 결과를 바탕으로 둘 중 한가지 가정을 없애버린거죠. 아 근데 쓰면 쓸수록 헷갈리네요... 결론은 그냥 퇴근하고나면 맥주한캔 먹고 게임이나 해야겠습니다. 역시 저한테 확률은 너무 어려워요 크크
17/11/22 19:47
사실 (1)번 상황은 확률이랑 전혀 상관없이 상식적으로도 이해할 수 있는 문제에요.
예를 들어서 봉투 2개가 있고 각각 돈이 들어있어요. (2배든 20배든 200배든 상관없음) 둘 중 어떤 걸 선택하시겠어요? 둘 중 어떤 걸 먼저 선택하는 대가로 돈을 지불하실 건가요? 답은 "지불할 필요가 없다"에요. 일단 봉투를 선택한 뒤에 다른 봉투로 바꾸는 대가로 돈을 지불하실 건가요? 역시 답은 "지불할 필요가 없다"에요.
17/11/22 19:02
(수정됨) 상황이 내가 집은 봉투가 큰 액수일때의 경우랑 작은 액수일때 경우 두 가지 경우로 나뉘는데 본문의 2번에서 봉투를 바꿔도 결과가 다르지 않다는건 이미 둘중 하나로 확정지은 상황이니까 차이가 나는거 같네요.
17/11/22 19:05
좀 투박한 설명인거 같은데, 이건 선택지를 3개로 보면 어떨까요
k(25%) 2k(50%) 4k(25%) 로 세개의 선택지가 있고, 이러면 기대값은 2.25k입니다. 1번의 경우 내가 2k를 골랐다는 걸 알고 있고, 때문에 바꾸는 게 2.5k로 기대값이 높은 상황 2번의 경우 내가 고른 게 얼마인지 알 수 없는 상태라 차이가 없는 상황 이러면 새로 추가된 정보(내가 2k를 골랐다) 때문에 기대값이 달라지는 게 설명이 되는 거 같아요
17/11/22 19:23
1번의 기대값 설명은 이해가 되는데, 2번의 경우도 결국에는 내가 고른 값을 K라고 치면 0.5k 와 2k 라는 기대값이 생기지 않을까요? 결국에는 1번과 같은 뜻인거 같아서요..
17/11/22 19:37
예 레드드래곤님 설명이 좀더 적절한 설명이라고 봅니다. 예를 들어서 봉투를 열어봤더니 10000원이 있다면 남은 봉투 B안에 있을 금액은 5000원일 가능성이 50%, 20000원일 가능성이 50% 일 테니까요.
17/11/22 20:19
아 이제 알겠네요 크크크크크 설명할 수 있을 거 같습니다.
완전 무지 상태에서는 내가 뭘 골랐는 지 특정할 수 없습니다. 1.125k라고 가정해야 해요. 이걸 k라고 특정하는 순간 나는 기대값보다 낮은 값을 골랐다는 상황, 새로운 정보가 만들어지는 거죠. 사실은 기대값보다 높은 값을 골랐을 수도 있는데요.
17/11/22 22:52
아 잘난척 떠들었는데 틀린듯...
1,2번 두 경우 모두 차이가 없네요. 100만원을 고르고 바꾸는게 50이냐 200이냐가 문제가 아니라 기대값은 1.5k 고정이고 내가 고른게 k냐 2k냐가 문제로군요. 완전히 잘못 생각했습니다.
17/11/22 19:09
x가 true value가 아니기 때문 아닌가요..
x+y=z 에서 z가 고정되어 있고 x=2y 일 경우가 50%, y=2x 일 경우가 50% 라고 치면.. x의 값은 z의 값과 확률에 의해 결정되는 값이어서.. 열지 않으면 z의 기대값을 알 수가 없고 하나를 열어 x=m일 경우에 z의 기대값은 x=2y=m 일 경우와 x=y/2 인 경우에 대해서 z=(1.5m+3m)/2 라는 기대값을 알게 되기 때문에.. 자세한 설명은 생략합니다.
17/11/22 19:25
봉투안에 들어있는 액수가 어떻게 결정되었냐에 따라서 달라집니다. 기본적으로 봉투 안을 확인할 수 있게 해준다면 뽑는 사람한테 유리한 게임이죠. 1과 2가 같을 필요는 없습니다.
봉투가 이렇게 10쌍이 있다고 칩시다 (1000,2000),(2000,4000),(3000,6000)...(10000,20000) 이때 20개의 봉투중에 하나를 고르고 안까봤다면, 고른 다음에 그 봉투에 해당하는 짝봉투로 바꾸든 안 바꾸든 기대값은 같습니다. 이건 직관적으로 이해할 수 있죠. 근데 하나를 까봤을 때, 1000, 3000, 5000, 7000, 9000이 나오면 무조건 바꾸는 쪽이 이득입니다. 12000, 14000, 16000, 18000, 20000이 나왔다면 안 바꾸는 쪽이 무조건 이득이죠. 그리고 이걸 제외한 나머지는 바꾸는 쪽의 기대값이 높습니다. 물론 당연히 봉투 분포를 알 수 없다는 전제일테니, 이렇게 쉽지는 않을겁니다. 어쨌건 하고 싶은 얘기는 2는 반반이고 1은 봉투금액을 어떤식으로 설정하냐에 따라서 행동양식이 달라지는데, 이게 이상한 일이 아니라는 겁니다. 봉투금액이 랜덤으로 설정된 것이 아닌, 사람이 의도를 가지고 집어넣은 것이라면 이건 애초에 확률문제가 아니고 심리전일테고, 오천원부터 백만원중에서 랜덤으로 선택했다 정도의 대답을 듣는다면 만원인걸 봤다면 바꾸는게 기대값이 높습니다.
17/11/22 19:37
이거 어디서 많이 들어본 역설로 기억해요.
제가 납득했던 설명은요, 봉투 속 액수는 실제로 확률에 영향을 미친다는 거예요. 확률에 영향이 없어보일 것 같지만 그게 착각이에요. 우선, 봉투 속 금액의 최대값이 무한대가 될 수는 없어요. (무한대를 가정한다면 문제 자체가 의미가 사라져요. 봉투 속 금액의 최대값이 무한대라면 금액의 평균값도 무한대가 되니까, 어느걸 고르든 어차피 기대값이 무한대가 되고, 대소의 차이가 사라지게 돼요.) 봉투 속 금액의 범위를 우리가 알 수는 없지만, 예를 들어 [0, 1,000,000] 사이의 uniform distribution이라고 가정해 봐요. 이러면 문제가 아주 간단해지죠. 봉투를 열어봐서 금액이 50만원 이상이라면, 절대 바꾸면 안 돼요. 봉투를 바꿀지 말지를 가르는 정확한 값도 계산할 수 있을 거구요. (암산 귀찮아...) 물론 실제 문제에서는 최대값 n을 알 수 없어요. 하지만 그게 얼마가 되었든 n은 유한한 값이고, 봉투 속 금액 m이 크면 클수록 미지의 값 n 대비 m의 상대적 크기도 늘어날 것만은 분명해요. 그렇기 때문에, 봉투 속에 돈이 많으면 많을수록, 바꾸지 않는 게 유리하다는 것이 분명해요. 아니 그래서 얼마나 많아야 '많은'건지 알 수가 없은데 무슨 소리냐고요? 그건 이 게임이 플레이어에게 주는 정보가 비대칭적이라서 생기는 문제일 뿐이에요. 정확한 확률은 모르더라도, 봉투 속 돈이 많으면 많을수록 바꾸지 않는 게 유리하다는 데는 차이가 없어요.
17/11/22 19:42
저는 이 문제를 독일 수학자가 쓴 어떤 책에서 읽었었는데(제목은 기억이 안 납니다), 그 책에서 저자가 쓴 설명이 정확하게 부온님이 쓰신 내용이랑 같아요. 그런데 저는 그 내용이 잘 납득이 안가서 오래동안 생각해봤는데 제가 내린 결론은 "이 문제의 답이 무엇인지는 모르겠지만 적어도 저자가 쓴 내용은 절대 답이 아니다"입니다.
위의 댓글에서도 썻지만 이 문제의 핵심은 (1)번 상황과 (2)번 상황은 사실상 동일한 상황이기 때문에 답도 같아야 하는데 왜 각각의 상황에서 답이 다르게 나오는가? 입니다. 그런데 정작 저자의 설명은 거기에 대해서는 어떤 설명도 못하고 있어요. 저자가 명백하게 틀렸다고 확신합니다.
17/11/22 19:59
(1)번 상황과 (2)번 상황은 동일한 상황이 아니란 얘기이신 거죠? 혹시 가능하다면 좀 자세하게 설명 해주실수 있을까요? 몬티홀 문제는 저도 알고 있는데 이 문제에서 (1)번 상황과 (2)번 상황이 어떤 점에서 동일하지 않은지 설명 해주시면 고맙겠습니다.
17/11/22 20:17
저도 수학과가 아니라서 설명하기가 너무 벅차요오...
아무튼 이 문제와 몬티홀 문제는 모두 조건부 확률에 대한 문제예요. 조건이 변하면 그에 따르는 확률은 변해요. 설령 그 조건이 알려지기 전에 선택했더라도 마찬가지예요.
17/11/22 20:42
몬티홀 문제와는 전혀 다른 상황입니다. 몬티홀은 정답을 '아는' 사회자가 추가적인 정보를 주는 상황이고, 이 경우에 100만원이라는걸 관측한 것은 어떠한 정보도 주지 않습니다. 추가적인 boundary condition이 있지 않은 한요.
(100만, 200만)일 확률과 (50만, 100만)일 확률이 동일할 것이라는 가정은 우리의 선입견에서 만들어낸 boundary condition입니다. 우리는 그 확률을 알지 못합니다. 돈봉투의 확률분포를 모르니까요. 그러므로 125만이라는 기대값은 잘못된 가정에서 도출된 기대값이라는거죠. 사실은 우리는 기대값을 계산할 수 없습니다.
17/11/22 21:00
어떤 정보를 주죠....?
관측한 값이 1원이라면, 100만원이라면, 100억이라면 뭔가 달라지나요? 돈은 정수이므로 0.5가 될수 없다.... 이런 물리적인 한계는 생각하지 않고요. 물리적인 한계가 있다면 당연히 정보를 줍니다. 그게 제가 얘기한 boundary condition이에요. 님이 위에서 예시로 드신 [0, 1,000,000 사이의 uniform distribution이라는 가정] 도 boundary condition입니다. 실제로는 모르죠.
17/11/22 21:09
(수정됨) https://brilliant.org/wiki/two-envelope-paradox/
제 애매모호한 설명보다 훨씬 깔끔하고 멋진 설명이 여기 있어서 찾아왔어요. 맨 밑에 visible envelop의 예를 보시면 됩니다. (실수가 있어서, 수정) 이건 플레이어가 임의의 continuous random variable를 설정하고 그대로 따라하면 반드시 성립합니다.
17/11/22 21:18
일단 링크 감사합니다:) 잘 읽었습니다.
제가 계속 주장하는 것은, 저는 문제에서 continuous random variable이라는 가정이 주어지지 않았다는 것입니다. 그 가정 하에서는 바꾸는게 이득이라는건 자명합니다. 제가 밑에 써 둔 댓글을 복붙합니다/ [(100만, 200만)일 확률과 (50만, 100만)일 확률이 동일하다]는 것은 X의 확률분포가 uniform하다는 가정하에 성립합니다. 현실에서는 아주 직관적이고 당연한 가정이죠. 하지만 이 문제에서 그 가정이 맞다는 근거가 있나요? 저는 선입견이라고 주장합니다.
17/11/22 21:22
continuous random variable은 가정하는 게 아니라, 플레이어 본인이 설정하면 됩니다.
아주 간단히 말해서, ["야! 난 100만원까지는 콜이다! 100만원부터는 다이다!"] 라고 정한다는 것입니다. 제가 처음에 댓글을 잘못 달아서 괜한 착각을 조장했습니다. 죄송합니다;;
17/11/22 19:50
buon님 말이 가장 정답에 근접합니다.
문제의 핵심은 상황 1에서 100만원을 확인했을 때 (x, 2x)에서 100만원이 x이냐 2x이냐를 알아내는 건데 (100만, 200만)일 확률과 (50만, 100만)일 확률이 동일하다는 보장이 없다는 점입니다. 애초에 x의 확률 분포에 대한 정보가 전혀 없기 때문이죠. 역설같지만 봉투를 선택했을 때는 그 봉투가 x일 확률과 2x일 확률이 50 대 50이지만 그 봉투가 100만원임을 확인한 순간 더 이상 50 대 50이라고 주장할 수가 없다는 겁니다.
17/11/22 20:24
(100만, 200만)일 확률과 (50만, 100만)일 확률이 동일하다는 보장이 있습니다.
두 확률이 동일하다는 가정 하에 기대값을 계산해서 1번에서 바꾸는 것이 이득이란 결론이 나왔으니까요. 즉 두 확률이 동일하다는 것은 원글 쓰신 분이 문제에서 제시해주신 조건에 포함됩니다.
17/11/22 20:36
저도 바꾸는게 이득이 아니라고 생각합니다.
근데 "그럼 기대값 계산의 어느 부분이 잘못됐냐?"라고 하면 대답을 못하겠어요. 기대값 계산에는 아무 문제가 없어 보입니다.
17/11/22 20:38
(100만, 200만)일 확률과 (50만, 100만)일 확률이 동일하다는 보장이 없기 때문입니다.
우리는 본능적으로 둘이 동일하다고 '가정'하는데, 그 가정이 맞을 이유가 단 하나도 없습니다.
17/11/22 20:40
동의해요. 좀더 추가하면, 동일하다는 보장이 없는 수준이 아니라, 위에 댓글로 달았듯이, 논리적으로 동일할래야 동일할 수가 없어요.
17/11/22 20:52
음... 저는 buon 님이랑 관점이 정반대인거 같은데요....
저는 (1)번 상황과 (2)번 상황은 완전히 동일하다고 생각합니다. 왜냐하면 boundary condition이 없기 때문에, N=100이라는 '관측'한 결과가 주는 정보가 아무것도 없습니다. N=임의의 양수라고 가정해도 똑같은 논증을 할 수 있으니까요. 즉 제 답은 (1),(2) 모두 기대값을 계산할 수 없다, 그러므로 바꾸는것의 유불리도 따질 수 없다 입니다.
17/11/22 20:59
그런 식으로 생각하면 확률 문제는 모두 답이 없게 되지요.. 주사위 1의 눈과 2의 눈이 나올 확률이
우리는 본능적으로 동일하다고 가정하는데, 사실 이것도 다를 수 있습니다. 현실에서는요. 현실이라면 봉투의 크기나 무게를 통해 금액을 추측할 수도 있고, 출제자와의 심리전도 가능하겠지만. 수학 문제에서는 그런 현실적인 부분을 모조리 배제하기 때문에 확률이 같습니다. 그리고 원글 쓰신 분은 이게 수학 문제라고 밝히셨고요.
17/11/22 21:04
어... 제 논리는 이문제가 현실적이지 않기 때문에(=수학적으로 이상적인 상황을 가정하기 때문에) 성립하는 논리입니다.
[(100만, 200만)일 확률과 (50만, 100만)일 확률이 동일하다]는 것은 X의 확률분포가 uniform하다는 가정하에 성립합니다. 현실에서는 아주 직관적이고 당연한 가정이죠. 하지만 이 문제에서 그 가정이 맞다는 근거가 있나요? 저는 선입견이라고 주장합니다.
17/11/23 00:47
문제란게 다 그렇죠 사람들끼리 어느정도 공유할 수 있는 관념에 대해선 암묵적으로 동의하고 가는거죠.
주사위 던졌는데 1이나 2가 나올 확률이 같다고 물론 말할 수 없죠 그것도 가정일 뿐이니까.. 까치님 외에 모두가 고민하는 건 그 가정에 동의했다고 할 때 이야기고요
17/11/22 20:08
열어봤다가 새로운조건을 부여해서 그렇습니다. 열어본순간 100만원이 x냐 2x냐 한가지 사건만 있죠.
열어보지 않으면 돈 봉투의 분포가 어떤 확률로 배치되었는지 알길이 없으니까..
17/11/22 20:33
열어봐도 돈 봉투의 확률분포는 모르는건 똑같습니다. 100만원이 x일 확률 = 100만원이 2x일 확률이 같을 이유가 하나도 없습니다.
그래서 저는 100만원이라는걸 아는 1번에서도 바꾸는 것이 기대값을 높이지 않는다라고 생각합니다.
17/11/22 21:14
(수정됨) https://brilliant.org/wiki/two-envelope-paradox/
맨 아래쪽 단락에 있는 설명이 깔끔하고 멋지네요. (1)번 상황에서, 봉투를 열기 전에 마음 속으로 숫자를 정합니다. 100만원 좋네요 100만원 ["내 생각에, 봉투 속 금액 중 작은 쪽은 100만원 미만이고, 큰 쪽은 100만원 초과일 것 같다. 내 감을 믿어 보자."] 이 직관대로, 플레이어는 봉투를 엽니다. 100만원 미만이면 봉투를 바꾸고, 100만원 초과면 그대로 스테이합니다. 이렇게 했을 때 결과는: a) 두 봉투의 금액이 모두 100만원 미만이었을 때: 플레어는 무조건 봉투를 바꿉니다. 처음 골랐던 봉투가 뭐였는지는 순전히 랜덤이기 때문에, 그걸 바꾸든 말든 손익은 없습니다. b) 두 봉투의 금액이 모두 100만원 초과였을 때: 플레이어는 무조건 봉투를 킵합니다. 당연히, 손익은 없습니다. c) 두 봉투의 금액이 하나는 100만원 미만, 하나는 100만원 초과였을 때: 플레이어는 무조건 더 큰 금액을 얻습니다! 따라서, 본인의 직관으로 금액의 분포를 잘 때려맞출 수만 있다면, 플레이어는 이 게임에서 1/2 이상의 승률을 갖습니다. 띠용! 이런 플레이가 가능하다는 점만 봐도, (1)과 (2)가 다른 상황이라고 할 수 있겠습니다.
17/11/22 21:53
즐거운 논쟁 감사합니다. 저도 마지막으로 생각을 정리해서 댓글 답니다.
저 위의 논증은 봉투 금액의 [확률분포가 uniform하다는 가정 하에], 100% 맞습니다. 하지만 제가 주장하는 것은 우리는 봉투 금액의 확률분포가 어떤지 전혀 모르므로, 우리는 기대값을 '모른다' 입니다. 이것을 가정하는것이 당연한지 아닌지는 frequentist와 bayesean의 관점 차이라고 생각하면 될 것 같습니다. 다만 수학 문제라는 특성상 frequentist의 관점이 조금 더 타당하다는 것은 인정합니다. 나름대로 결론을 내릴 수 있어 다행입니다:)
17/11/22 21:48
이게 왜 확률 문제인가요? 바꿔서 상대적으로 이득 볼 확률과 손해 볼 확률은 정확히 5:5 인데 말이죠.
기댓값이 저렇게 나오는 이유는 처음에 고른 봉투를 x라고 확정지었기 때문입니다. 쉽게 말해서 (50, 100)과 (100, 200)이 들어있는 상황에서 100을 뽑은것이라고 확정해버렸다는 이야기입니다. (50,100)과 (100,200)이 있을 확률이 정확히 5:5였다면 25%의 확률로 50을 뽑거나 200을 뽑을 경우의 수를 이미 제거시켜버린거예요. 애초에 기대값이 112.5였는데 내가 가지고 있는게 100이니까 바꿨을 때의 기댓값이 125가 되는거야 이상할게 없는거고... 모르는 상태로 갈 경우 사실은 x이거나 2x중 하나를 뽑은거라서 바꾸게 될 경우 원래 x를 뽑았다면 2x가 돼서 +x가 되고, 2x를 뽑았다면 x가 되어서 -x가 됩니다. 손익 기댓값은 0이죠. '내가 뽑은게 x이고 나머지 하나가 x/2이거나 2x일 확률은 50:50이야' 라고 생각하는건 애초에 (x/2, x), (x, 2x)가 50:50으로 불확실한 상황인데 내가 하나를 고름으로 인해서 저런 상태로 확정된다는 이야기가 되는건데 실제로는 이미 결정이 되어있습니다. 고르는 순간 시스템이 결정되는게 아닌 이상은 말이죠.
17/11/22 23:17
(수정됨) 문과생의 생각입니다.
A, B 봉투 중 어느 쪽을 고르든, 그쪽에 돈이 더 많을 가능성은 정확히 5:5니까 기대값은 같아야하는데, A 봉투 안에 있는 돈이 X원임을 확인했을 때는, B 봉투 안에 있는 돈은 1.25X원이 되는게 이상한 거잖아요? 봉투 안에 있는 게, 돈이 아니라 벌금 100만원 짜리 딱지면( = -100만원) 바꿨을 때 기대값은 -125만원이 되어 손해가 되니까, 봉투 안에 얼마가 있는지 모를 때는 A를 고르든 B를 고르든 상관이 없는데, 봉투 안에 있는게 양수의 돈(문제에서는 +100만원)임을 확인한 순간 반대쪽 봉투로 갈아타는게 이득입니다. 즉, 봉투안에 있는 돈을 확인했을 때 기대값이 상승하는 이유는, 봉투 안에 있는 돈이 양수임을 확인했기 때문입니다. 봉투안에 있는 돈이 음수인지 양수인지 모를때는 먼저 고른 봉투를 골랐을 때 양수면 1.25배 이득 음수면 1.25배 손해니까 합산하면 5:5의 기대값이 되는 거고요.
17/11/23 00:23
별로 안 어려운데... 그냥 용어만 헷갈리시는 것 같네요
100만원 관측시 나머지 봉투의 가능한 경우의 수 두 가지(50, 200) 따라서 교환시 이득볼 확률과 손해볼 확률은 5:5 따라서 교환의 기댓값은 (200+50)/2 = 125 기댓값이 125이므로 여러번 시행하는 경우 (100만원 관측시마다) 교환하는 것이 장기적으로 이득보는 전략
|
||||||||||