|
:: 게시판
:: 이전 게시판
|
- 모두가 건전하게 즐길 수 있는 유머글을 올려주세요.
- 유게에서는 정치/종교 관련 등 논란성 글 및 개인 비방은 금지되어 있습니다.
통합규정 1.3 이용안내 인용"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
24/03/29 13:51
저도 아주 어릴땐 비슷한 생각을 했던 기억이 있으니 결국 더 생각을 해보면 이해가 되는 부분이죠. 결국 생각을 해봐야하는건 지금 저 말하고 있는 사람인거고 '아 쟤가 생각을 중단한 거니까 내가 답답해하진 말아야겠다' 하고 넘겨야지 어쩔 수가 없음
24/03/29 14:25
수능 수학 만점인데 0.999...가 왜 1인지 납득하도록 설명하는 사람을 한명도 본적 없습니다.
그냥 그렇게 정의했다고 외우고 넘어갔지만 아직도 이해는 안돼요.
24/03/29 14:45
한 가지 예는 1/3의 소수 표현에 3을 곱하기입니다.
1/3 = 0.333... 1/3×3 = 0.999... 1 = 0.999...
24/03/29 14:46
0,99999...
이런 수는 분수로 변환이 가능하니까요. 1/9= 0.1111... 2/9=0.2222... 3/9=0.3333... ... 9/9=0.9999...=1 이렇게 하거나 1/3=0.3333... 1/3×3 = 0.3333...×3 = 0.9999... 3/3 = 1 = 0.9999... 이렇게 합니다
24/03/29 15:04
저런 설명은 직관적으로는 이해가 되는데 엄밀하게 따져보면 헛점이 좀 있습니다.
그리고 수학에서는 직관적으로 그럴거 같은게 증명해보면 아닌 경우가 종종 있지요.
24/03/29 15:17
저런 설명의 헛점이 뭔가요? 사실 저도 엄밀하게 따지려면 대학수준으로 가야 한다고 듣긴 했는데, 대충 중학수학수준? 으로도 헛점 이해할 수 있나요? 궁금합니다
24/03/29 14:53
그냥 그렇게 정의한 게 아니라 증명을 한 건데요.
수학은 증명을 하는 게 곧 설명을 한 거죠. 그때부터는 납득을 하거나 못하거나 하는 건 받아들이는 쪽 소관일 뿐입니다.
24/03/29 15:17
뭐 좀 말꼬투리같긴 한데 무한이나 확률 관련 웬만한 내용을 다 이건 증명이 되는 거지만 증명이 고등학교 수준을 넘어가니까 대충 이런 방향으로 증명이 된다는 것만 알아두자 라고 넘어가는 거랑, 그런 걸로 정의하자 라고 하는 거랑은 많이 달라서...
24/03/29 15:13
이런 설명은 어떨까요?
숫자 a와 b가 있다고 합시다. a<b 이거나 a=b 인 둘 중 하나인 상황이라고 생각해볼께요. 실수의 성질에 따르면 a<b 이라면 항상 a와 b 사이의 새로운 숫자 c를 얘기할 수 있습니다. 예를들어 0 < 1 이라면 0과 1 사이에 다른 수인 0.5를 얘기할 수 있는 것 처럼요. 그러니 0.999.... < 1 이라면 0.999...와 1사이에 존재하는 또 다른 숫자가 있어야합니다. 그런 수가 존재할까요? 그런 수를 찾을 수 없다면 0.999...= 1 이됩니다.
24/03/29 15:56
0.999...가 왜 실수인가 하는 의문이 있습니다. 1/0은 계산안되니까 걍 실수아님! 해버리잖아요.
억지로 실수라고 정의한다면 뒤의 설명이 맞겠지만 뒷맛이 개운하지는..
24/03/29 16:16
여기서부터 사고를 못따라가겠네요. 0.999...는 순환소수이니 실수 정도가 아니고 그냥 유리수인데다가, 실제로는 1이기 때문에 정수죠. 수의 카테고리 가장 안쪽(?)에 있는 숫자인데 이게 실수인가 조차도 의문이라고 하시니 생각의 흐름이 이해가 안되서 조금 더 자세히 설명해주셔야 할 듯 합니다. 0.999...가 실수인게 의문이라면 0.333...이나 0.123123...같은 순환소수들이 전부 실수인게 이상하다는 말씀이신가요?
24/03/29 16:36
(수정됨) 수직선 위에 수를 찍었을 때 우측에 있는 수를 더 큰 수라고 한다는 것은 동의 하시죠?
일단 0.999... 와 1의 크기비교를 하려고 하셨구요. 그럼 0.999...가 수직선 위에 어딘가에 있어야지만 크기 비교를 할 수 있겠죠. 가장 엄밀하게 실수를 정의하려면 데데킨트의 절단이나 코시수열을 꺼내와야겠지만 이건 전공자들의 영역이니까 비전공자들에게 실수를 얘기하려면 수직선 위에 어딘가에 놓을 수 있다면 실수라고 하면 크게 틀리지 않는다고 생각합니다. 수직선 위에 수를 찍을 수 있다 = 실수이다. 1/0은 수직선 위에 놓으러면 어디에 놓아야할 지 전혀 알 수 없구요. 크기비교를 하려면 우선 수직선 위에 놓아야겠죠. 0.999...이 실수가 아니면 수직선 위에 놓을 수도 없으니 크기비교를 하겠다는 시도 조차 의미가 없는 행위가 되겠네요.
24/03/29 16:41
수직선에 찍을수 없지만 1과 크기 비교는 할수 있는 것도 있습니다. 예를들어 무한대나 무한소가 있지요. 0.999...를 숫자가 아니라 그런 특수한 개념이라고 하면 어떤 문제가 있을까요?
24/03/29 16:44
(수정됨) 무한소는 일단 극한개념이 도입되면서 사라졌고...무한대도 보통 수로는 다루지 않을겁니다...즉 그냥 걔네 둘은 비교니 뭐니가 영...(뭐 몇몇은 무한소나 무한대를 넣어서 써보겠다고 초실수체라는걸 만들긴 했지만요...)
집합적으로 무한집합의 크기를 무한대라 하긴하지만요
24/03/29 18:27
나무위키에 그 문제점이 나오는데요, https://namu.wiki/w/0.999%E2%80%A6%3D1?from=0.999...%20%3D%201#s-3.3 예를 들면 원주율을 3.141592...로 쓸 수 없게 됩니다.
24/03/29 15:32
정수 1이 아니라 순환소수인 실수 1인데 연속된 수 체계에서의 극한값이다라고 받아들이긴 했는데, 두 수가 왜 같은지는 이해를 못했습니다...
24/03/29 15:41
(수정됨) 사실은 두 수가 아니라 한 수를 나타내는 두 가지 표기법인 거죠.. 모든 실수는 무한소수(순환하든 그렇지 않든)의 형태로 나타낼 수 있고, 그 중에 특수한 형태(xx.000000...라든지 xx.99999999...라든지)는 유한소수의 형태로도 나타낼 수 있는 거라고 보시면 되겠습니다. 애초에 유한소수와 무한소수는 수의 분류가 아니라 수를 표기하는 방식의 분류인 것이죠
24/03/29 16:11
정수는 덧셈, 뺄셈에서만 닫혀 있고, 실수는 연산 범위가 더 넓어서 어떤 수인지 정확하게 표현해야 하지 않나 그런 생각이 있었는데, 말씀 하신 것처럼 수의 확장이 생략된 표기 방식의 호환 문제라고 생각하니 깔끔해졌네요. 감사합니다.
24/03/29 17:35
(수정됨) 실수의 완비성, 무한등을 알아야 설명되니까
일반인이 납득하도록 설명하기 어렵죠. 와이프한테 힐베르트 호텔 이야기만꺼내도 너어어어무 싫어해서 비명을 지르는데 크크 실수를 전부 셀수있는 방법을 제시 가능한가랑 같은 문제입니다. 모든 자연수를 셀수있는방법은 쉽게 제시가능하죠 1부터 1씩 더해가면 모든 자연수를 셀 수 있죠. 정수도 가능하고, 정말 놀랍게도 모든 유리수를 셀 수 있는 방법도 있습니다 실수는 그게 안되요. 1.3다음수는 1.4인가요 1.31인가요 1.301인가요 1.3001인가요 13001이라고 가정하면 실수를 하나씩 세어갈때 1.30001은 언제 나타나게되나요? 그렇게 세어가다 pi는 언제만나죠? pi다음수는요? 실수는 세는게 안되요..
24/03/29 17:37
(수정됨) https://youtu.be/Uj3_KqkI9Zo?si=-VHtqWzzZx0pniDm
이 영상은 제가 위에서 언급한 힐베르트호텔 영상이고, 실수랑은 조금 다른 이야기인데, 무한을 맛볼 수 있는 영상입니다 이 영상이 재밌으시다면 수학을 취미로 할 수 있다고 생각합니다 크크
24/03/29 14:36
0.111... = 1/9
0.222... = 2/9 ... 0.999... = 9/9 = 1 수알못입니다만 일단 이걸로 0.999... = 1이라는 걸 납득하고 있는데, 이걸론 불충분한 건가요?
24/03/29 14:54
아니 그러니까 0.9999...는 무한으로 계속 진행 중인 상태이지 무한까지 간 거는 아니잖아?
1은 이미 1로 완성인데 0.99999..는 계속 진행 중인데 어떻게 1에다 비빈다는 거야? 우주에서 시간이 얼마나 중요한 요소인데 그걸 무시함? 아무튼 1보다는 손해보는 느낌이야. 저울 위에 있는, [금 1톤 받을래? vs 금 0.9999999..톤 실시간으로 계속 찍히고 있는 거 받을래?] 중에 뭘 고를 건지 생각해보면 답 나옴! 참고로, 후자 고르면 어디가서 같은 금 1톤으로 맞바꿀려면 저울 멈출 때까지 기다려야 할 거야.
24/03/29 16:21
본문의 페페 강화판이네요. 0.999...는 시간이 걸려서 계속 숫자가 찍히고 있는 상태가 아니라 그냥 표기법인데
그런 식으로 뭔가 수학이 아닌 개념을 들고오기 시작하면 답답해지는거죠.
24/03/29 16:47
(수정됨) 이 문제는 극한으로 이해하는 게 문제라기보다는 다가간다는 개념으로 극한을 이해하는 게 문제라고 보는 게 더 맞아 보입니다. 중고등학교 수준에서 이걸 온전히 이해시키는 게 불가능에 가깝기 때문에, 설명을 위해 중고등학교 레벨에서 문제가 되지 않는 수준의 오개념을 허용한 거라고나 할까요
실제로 극한값은 가까워지는 값이 아니라 그냥 그 값인 거죠 그저 그 사실을 직관적으로 받아들이기가 쉽지 않은 거고.. 굳이 러프하게 얘기를 하자면, 극한값은 화살이 아니라 과녁이라고 보는 게 좀더 적절할 겁니다.
24/03/29 16:57
불연속함수의 경우 특정 상황에서 극한값과 함수값이 똑같게 정의되지 않을 뿐입니다.
다가간다는 표현을 부정한 것에 대해서 좀더 부연하자면, 이게 문제가 되는 부분은 x가 아닌 극한값에 대한 부분입니다.
24/03/29 17:02
극한값을 계산하다가 0.999...가 나올 수 있을지도 모르겠지만 0.999...자체가 극한값은 아니지 않나요? 그냥 순환소수인데...
24/03/29 17:12
수학을 설명할때 다가간다 접근한다 같은 표현을 쓰다보니 뭔가 시간을 들여서 일어나는 현상 같은 오개념이 생길 때가 있죠.
실제로는 표기한 순간 다 끝나있는 상태고 '가까워지고 있는' 극한의 개념은 시간이라는 축을 통하는 것이 아닌데... 예를 들어 본문의 페페 같은 경우 0.000...1이 어디갔냐고 묻고있지만 저 페페는 실제로는 그 1을 쓰는 것이 불가능합니다. 0.999...의 마지막 자리가 끝나야 그 아래에 1을 쓸 수 있을텐데 그 9는 영원한 저 멀리에 있고 페페는 닿을 수 없죠. 시간을 들여서 천천히 하나씩 쓰여지는게 아니라 그냥 0.999...라고 표기한 순간에 무한하게 쓰여져있는 것으로 간주되니까요.
24/03/29 16:40
0.999... = x
9.999... = 10x 9.999... - 0.999... = 9 10x - x = 9x 9x = 9 x = 1 이런식으로 설명하기도 하죠.
24/03/29 17:11
수학자들도 0이 어디에 속하냐, 허수란게 있을 수 있냐 이런걸 과거에는 토론을 했었죠. 분야는 다르지만 아인슈타인도 신은 주사위놀이를 하지 않는다고 했었고. 지금은 진리로 여겨지는 것들도 한때는 당대의 석학들이 아니라고 했던 거고, 저런걸 진지하게 믿고 남들한테 주장한다거나(안아키) 직접 이상한짓 하는게 아니라, 저런 의문만 가지고 있다면 오히려 사고를 열심히 하는 사람일 수 있을거에요. 저는 화나지는 않네요 수잘알이 아니라 그런가
24/03/29 17:20
사실 우리 모두는 수포자이기 때문에 딱히 화날 내용은 아니죠.
수학을 포기한 것이 중등과정이냐 고등과정이냐 아니면 대학과정이냐 그 이후냐의 차이가 있을 뿐이구요.
24/03/29 17:21
뭐 근데 0.999...=1 아닌거의 문제는 실수의 정의 그 자체를 흔들어야 성립될거라서...사실 수학의 특성상 저런게 가능하게 만들러면 만들 순 있을겁니다...거기까진 별 문제 안되죠...근데 그걸 현재 주류에도 그래야한다라는걸 주장하는건 다른 영역이 되는지라...
|
||||||||||||||
