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16/08/31 13:42
'존재하지 않는다' 를 증명하는 방법은 귀류법 밖에 없는 거 같습니다. 논리의 영역에서만 쓸 수 있기도 하고... 일반적으로는 증명이 불가능한 경우가 많지요 흐흐
16/08/31 13:44
피타고라스가 직접 죽였다는 말도 있고, 히파수스 본인이 죄악을 참회하기 위해 자살했다는 말도 있고, 반대로 피타고라스와 제자들이
새로운 발견에 기뻐하며 축제를 벌였다는 설도 있습니다.
16/08/31 13:46
22 진짜 입니다. 이해가 안돼서 쌤께 계속 질문 했는데 설명을 못해주시더라고요.
그래서 수포했는데 수능에서 대박터짐 잏힝 >_<
16/08/31 14:06
허수 라는게 실제로 응용이 되는 영역인가요...? 말그대로 허수면 수학적으로만 의미있는거 아닌가........ 이상 문과생이었습니다. 허허
16/08/31 16:38
뭐 임피던스는 저항, 리액턴스, 캐피시턴스의 합성값인데 이게 복소수로 표현되고 그중 실수부가 실제 소비전력에 관여되고 허수부은 일종의 손실값이라 생각하면 이해가 쉬울까요?라고 써놓고도 제가 뭘 썼는지 저도 모르겠네요. 크크
16/08/31 13:46
저도 수포자였어서 그런지 주변에 수학잘하는 친구들도 괴물같이 느껴졌고(..)
저런걸 발견해낸 저 사람들도 분명 인간이 아닐거야라는 생각을 잠깐 해본적이 있습니다 (진지하게 그렇게 생각했다는건 아니고요 크크) 그건 그렇고 저 사람이 무리수를 발견해준 덕분에 길이 무리수를..아 아닙니다 죄송합니다..(..)
16/08/31 13:52
전 가장 뭣같았던게 기하.. 이 세 점이 같은 선 위에 있든 말든 나랑 무슨 상관인지.. 그래서 좌표 잡아서 증명하다 학원 선생님한테 욕먹었...
그래도 메넬라우스는 나중에 벡터에서 잘 써먹었습니다..
16/08/31 13:57
본문을 보니 몇년전 [모든 소수의 곱]이 짝수인가 홀수인가로 논쟁하던게 생각나네요..
전 짝수 라고 생각했지만, 많은분들이 소수가 무한대이기 때문에 계산할 수 없으니 알수 없다라고 하셨었죠.
16/08/31 15:43
공대생수준으로는 짝수인게 명확하다고 저도 생각합니다.
십진수로 1의 자리가 0이되고, 2진수로도 1의자리 0이니까, 그런데 수학공부하신분들은 아니랍니다. 제가 무식해서 이해를 못하는건지..
16/08/31 21:05
겨울삼각형님처럼 생각하시는 분도 제법되는데 그 생각의 바탕에는
모든소수의 곱을 1의자리10의자리 100의자리 ...... 이러게 무한히 숫자들을 나열해 놓은것처럼 생각할수있다는것을 가정하고 그 가정하에 마지막 자리는 0이라고 하는것이죠. 가정이 맞다면 마지막 두번째자리도 모르긴 몰라도 무슨 0~9중에 어떤숫자여야만 할겁니다. 하지만 조금 따져보시면 알겠지만 그것은 어떤 고정된 숫자라고 할수 없습니다. 그래서 일단 모든 소수의 곱을 무한히 긴 digit으로 간주할수는 있다는 최초의 가정에는 문제가 있다는것을 알수있습니다. 그럼에도 불구하고 혹시 그것이 짝수라고 불러도 타당한 대상인지 생각해봐야할텐데 그때에는 가장 먼저 그 대상을 숫자로 취급할 수 있을지를 따져봐야 합니다 . 사실 수학자들은 일상적이지 않은 수많은 종류의 기괴한 개념의 숫자들을 정의하는데 어떤 것이든 일단은 계산법칙(자연수의 사칙연산과 다르더라도..모순없는 연산법) 을 가지고 있어야만 일단 숫자라고 불릴수 있는 자격이 있습니다. 아직은 그런게 있다고 알려진것 같지는 않습니다. 어쩌면 불가능하다고 증명될런지도 모르겠습니다.
16/08/31 21:42
0) [모든소수의 합이 얼마냐?] 라는 질문이라면, 당연히 알 수 없다 가 맞습니다.
하지만 질문이 [짝수냐? 홀수냐?] 라면 판정할 수 있다는 겁니다. 1) 소수는 자연수의 한 부분집합입니다. 정의 자체가 소인수 분해가 안되는, 즉 1과 자기자신만 약수로 가지는 자연수이니까요. 자연수는 곱셈에 닫혀있죠. (중등 수학..) (곱셈에 닫혀있다는 표현은, 임의의 자연수 2개 a,b를 곱했을때, 그 결과 c가 자연수라는 뜻입니다) 즉 소수를 계속 곱해봐야 결국 자연수입니다. 무한히 큰 자연수죠. ((((자연수*자연수)*자연수)*자연수)*자연수)****무한반복 자꾸 계속 무한히 큰수를 곱하기 때문에 그게 수인지 알 수 없다고 한다면... 2) 2*3*5*7*(등등등..) 오름차순으로 소수 몇개만 써보면, 이 표현자체가 소인수 분해라는것을 알 수 있죠? 짝수 : 2를 약수로 가지는 수 라고 말할 수 있습니다.(저와 짝수에 대한 개념이 다르다면 알려주세요) 2*3*5*7*(등등등..) 위 짝수의 정의에 부합되지 않는 부분을 알려주세요. 3) 질문을 바꿔보죠. 1.모든 짝수의 곱은 ? 짝수 2. 모든 홀수의 곱은 ? 홀수 모든 소수의 곱은 ? 알수 없다 라고 하신다면 위 1.2번도 같은 결론이 나와야 합니다.
16/08/31 21:56
당연히
모든 짝수의 곱도 짝수가 아니고 모든 홀수의 곱도 홀수가 아닙니다. 짝수의 정의에 부합하려면 일단 숫자 이어야 합니다. 숫자라는게 확인되고 나면 숫자가 가지는 계산법칙을 통해서 짝수홀수를 판별하는것이고요. 먼저 무한히 곱한 대상이 숫자가 될수있냐의 질문에 답할수있어야 합니다.
16/08/31 22:40
네 어떤 [자연수]가 오더라도 2를 곱하면 다시 자연수고 짝수입니다.
무한히곱한 x 가 자연수[라면] 거기에 2를 곱하면 짝수가됩니다. 이제 x가 자연수라는 것만 보이면 증명이 끝나겠네요! 일단 자연수라는거 증명에 숫자라는 증명이 포함되어있으므로 일단 x가 자연수라는 증명이 된다면 한결쉬운 x라 숫자라는 증명도 당연히 되겠죠? 수학자들이 숫자라는걸 증명하기위해 복잡한걸 요구하는게 아닙니다. 사칙연산할수있고 결합법칙 교환법칙 분배법칙같은만족하고 대소비교할수있고 그러면 퍼펙트죠. 하지만 대개 숫자비스무레한거 만들면 대개 전부 만족하긴 힘들어도 일부는 성립한다는걸 보이더라도 괜찮은 경우도 많습니다. 어떤 자연수를 무한히 곱한 x가 숫자라고 생각이들면 어떤 계산법칙이 성립할지 또 소인수분해가 가능할지부터 생각해봐야합니다. 자연수가 소인수분해가 가능하다는 정리는 무려 "정수론의기본정리"라고 불릴정도로 심오한 면이 있습니도. 예를들어 자연수와 거의 비슷하게 덧셈곱셈을을 정의할수있는 행렬의 집합인데 여기서는 소인수분해가 가능하지 않습니다.
16/08/31 23:52
웨인루구니 님//
자연수 * 자연수 = 자연수 이고 자연수 * 2 = 짝수 이죠 이 부분이 잘못된거 아닙니다. 음.. 어디보자.. 예를들어 모든 짝수의 곱도 자연수라고 생각하시면 모든 4의 배수의 곱도 자연수라고 해야할텐데 그럼 그 두수의 차이는 얼마일까요? 숫자라면 다른건 몰라도 최소한 덧셈 뺄셈은 되야 할테니까요.. 이런 종류의 질문이 무수히 많은데 잘 생각해보시면 모순없는 해결방법이 잘 안나옵니다. 그러니 별수없이 무한히 곱한 대상을 숫자라고 하기 힘들어지는것이고 자연히 짝수니 홀수니 하는말도 못하게 된거죠.
16/09/01 02:51
Quantum 님// 결국 '무한'의 개념에 대한 이야기가 되는 것 아닌가요?
소수는 무한히 많으니까, 모든 소수의 곱은 무한일 것이고, 결국 '무한'이 흔히 생각하는 사칙연산의 원칙에 따르는 계산을 할 수 있느냐의 문제라고 이해됩니다만... 흔히 이것을 짝수라고 이해하는 것은 우리가 인지하고 있는 어떠한 큰 수도 그 사칙연산의 법칙에 따랐으니, 그보다 큰 무한도 동일한 법칙에 따를 것이라는 extrapolation에서 나온 것 같습니다. 짝수 집합은 자연수 집합의 진부분 집합인데, 짝수 집합 원소의 수와 자연수 집합 원소의 수는 같다... 같은 언뜻보기에는 말도 안되는 것이 무한의 세계던데...
16/09/01 05:44
sway with me 님// 넵.. 무한히 곱해도 무한히 클뿐 그것도 숫자 아니냐 이런 생각이 사실 굉장히 자연스럽습니다.
과거의 수학자들도 멋모르고 그렇게 하다가 상호모순된 결과들이 마구 쏟아져 나와 호되게 당했다고 합니다. A가 만든 공식으로 계산한거랑 B가 만든 공식이랑 결과값이 다른데 둘다 맞다고 증명되는, 수학에서는, 있어서는 안되는 일들이 벌어진거죠. 말씀처럼 무한의세계가 언뜻보기에 말이 안된다고 느껴지기도 합니다. 왜그렇게 생각해야하는지 미심쩍기도 하고요. 하지만 수학자들이 엄청난 혼란과 고생끝에 아무런 모순없이 안전하게 무한을 다루는 방법을 알게 된 결과물이기도 합니다. . 무한을 다루는 법을 깨닫지 못했으면 미적분도 지금처럼 편안하게 모든 곳에 적용하지도 못했을거고 아마 지금 손에들고 있는 스마트폰도 세상에 나오지 못했을 테니 어찌보면 참 다행이기도 합니다.
16/09/01 03:11
자연수가 곱셈에 대해 닫혀 있다는건
두 자연수의 곱이 자연수라는 거구요 따라서 유한개의 자연수의 곱도 자연수지만 무한개의 자연수의 곱도 자연수라는 것이 보장되지는 않습니다
16/08/31 20:44
짝수냐 홀수냐도 사실 계산결과 통해 확인되는 어떤 성질을 나타내는 단어입니다.
계산을 할수없는데 짝수인지 홀수인지 확인할 방법이 없는거죠. 결국 숫자가 무엇인가에 대해 생각해봐야 하는데 숫자의 정의자체에 사칙연산과 비슷한 계산을 할 수 있어야 한다는걸 전제조건으로 요구합니다. 모든소수의 곱을 하나의 숫자로 취급하려면 보통의 숫자와 함께 어우러질수있는 모순없는 계산법칙을 가지고 있어야 하는데 그게 안되기 때문에 보통은 숫자로 취급받지 못하는거죠.
16/08/31 14:17
위 무리수의 발견은 인류가 숫자가 무엇이냐를 알아가는 중요한 사건중에 하나죠.
그런데 본문의 증명에서 가장 어려운 부분은 사실 숫자를 수직선에 대응시키는 점에 있습니다. 이는 실수의 정의와 중요한 관련이 있는데 18세기이후 데데킨트나 코시의 논증이 나오기전에는 이에대하여 엄밀한 증명이 없었습니다. 미적분이 발견되기 이전에는 이런걸 직관으로 퉁쳐도 아무런 문제가 없었지만 뉴턴과 라이프니츠이후 무한소를 다루어야하는 상황이 온 이후 그야말로 수학자들에게 헬이 열렸습니다. 당시 엄밀하지 못한 논증으로 모순된 결과를 주는 논문들이 속출했다고 합니다. 음.. 말이 깊어졌는데.. 요약하자면 숫자를 직선상의 한점에 대응시킬수 있게 된게 아주 중요한 사건중에 하나이며 그것때문에 위 논증이 성립한다는 점입니다.
16/08/31 14:43
피타고라스 학파가 수장했다는 얘기도 있지요.
뭐 이런거보면 "고대 그리스는 지식과 사상의 자유가 넘쳐나던 곳이었다!"가 얼마나 헛소리인지 알게 되는...
16/08/31 15:03
무리수에 관해 또 재미있는 사실은 유리수는 countable set인데 무리수는 uncountable set이라는 거죠.
유리수의 갯수를 A라고 하면 무리수의 갯수는 2^A이라고 표현할 수 있다고 합니다.
16/08/31 20:24
연속체 가설!
고3애들한테 집합 X와 X의 멱집합인 P(X)가 1대1대응이 성립하지 않는다는 것 지난 주에 증명해 줬습니다. 크크크
16/08/31 16:05
이 정도를 배경지식이 없어서 이해 못한다는건 중학교 수학까지만 배웠어도 말이 안되는 것 같고
그냥 생각하기 싫다랄까 사고능력을 할당하고 싶지 않다...말하자면 취향? 에 가까운 것 같아요. 안하다보니까 하기가 싫은거지 이해를 못하는 것과는 많이 다른 것 같습니다.
16/08/31 18:50
그 무리수도 있기는 있죠... 바둑용어로요. 정수 호수 묘수 악수 착각수 꼼수 무리수 할 때 그 무리수죠. 거기서 의미가 확장된 것일 겁니다.
16/08/31 19:07
제가 제일 싫어하는 학자가 피타고라스 입니다
싸인 코싸인 탄젠트부터 수포자가 되었습니다 참 신기한게 전 미분은 되는데 적분은 안되더라구요;;
16/08/31 21:57
그럴만도 한게 뭐랄까...적분도 공부하면 언젠가는 할 수 있음이 분명하지만 엄두가 안난달까? 이제 20~50kg 치는 사람 앞에 100kg바벨 갖다놓고 해보라고 하는 느낌이 들죠. 그냥 이대로 살겠다고 생각하는 것도 이상하지 않은 듯.
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